Окончил Первую военную школу пилотов им.Мясникова (Качинская).

Участник Польского похода Красной Армии.

Участник Советско-финляндской войны в составе 35 скоростного бомбардировочного авиаполка. 

К началу войны полк базировался в Сиверской, входил в состав 71 скоростной бомбардировочной авиабригады. Имел на вооружении самолеты СБ. принимал участие в бомбардировке военно-промышленных объектов на территории Финляндии, в т.ч. г.Хельсинки

Указом Президиума ВС СССР от 19 января 1940г. Федор Федорович был награжден орденом Красного Знамени.

Указом Президиума ВС СССР от 22 февраля 1941г. награжден вторым орденом Красного Знамени.

С августа 1940г. полк базировался в Тарту. Входил в состав 4 смешанной авиадивизии

К началу войны капитан Звонцов заместитель командира 35 скоростного бомбардировочного авиаполка.

Экипажи полка вели боевую работу с первых дней войны.

23 июня бомбили район железнодорожного вокзала, завод и железнодорожный мост в Кенигсберге.

29 июня- переправы на р.Западная Двина.

07 июля 1941г. полк перебазировался на аэродром Старая Русса. В тот же день бомбардировал войска противника в г.Остров.

Со второй половины августа- в резерве. Личный состав был направлен на переучивание на самолеты Пе-2.

Во второй половине 1942г. майор Звонцов был назначен командиром сформированного 854 бомбардировочного авиаполка 293 бомбардировочной авиадивизии. Полк имел на вооружении самолеты Пе-2.

30 октября Федор Федорович водил тройку Пе-2 на бомбардировку станции Оленино.

31 ноября вел девятку на бомбардировку станции Новосокольники. Из-за плохих метеоусловий группа задание не выполнила.

07 декабря вел группу из 17 самолетов на бомбардировку станции Новосокольники. Из-за плохих метеоусловий группа задание не выполнила.

09 декабря вел девятку «пешек» на бомбардировку района Валиново- Щелканово. Цель была закрыта сплошной облачностью- задание не выполнено.

16 декабря водил группу из 12 самолетов на бомбардировку артиллерийских позиций противника в г.Великие Луки. Задание выполнено.

Вторым вылетом группой из 11 самолетов бомбардировал станцию Осуга.

17 декабря повторно бомбардировал станцию Осуга девяткой Пе-2.

29 декабря водил 8 Пе-2 на бомбардировку позиций противника в г.Великие Луки.

30 декабря во главе 13 Пе-2 бомбардировку позиций противника в г.Великие Луки.

06 и 07 января 1943г. водил девятку на бомбардировку войск противника в д.Громово.

18 января группа из 12 самолетов, ведомые майором Звонцовым, задание не выполнила из-за ухудшения метеоусловий.

10 февраля во главе восьмерки Пе-2 бомбардировал опорный пункт противника в Райцы.

11 февраля задание не выполнено из-за плохих метеоусловий. Вторым вылетом ведущим группы из 12 Пе-2 бомбардировал артиллерию на западном берегу р.Лесна.

27 февраля, вылетев в 11-29, повел две восьмерки Пе-2 на бомбардировку войск противника в районе Бор, Великое Село. Бомбардировали в период с 12-37 по 12-57. После выполнения боевой задачи самолет майора Звонцова был подбит огнем зенитной артиллерии и загорелся. Летчик сумел дотянуть до своей территории и посадить горящий самолет. Федор Федорович получил тяжелое ранение, штурман полка капитан Первак Сергей Антонович и флагманский стрелок-радист старший сержант Манзевитый Иван Никифорович- погибли. В полку экипаж числился пропавшим без вести.

Федор Федорович совершил 45 успешных боевых вылетов, 13 из которых- будучи командиром полка.

12 марта 1943г. был представлен к ордену Отечественной войны I степени, приказом от 17 марта 1943г. награжден орденом Отечественной войны II степени.

С 30 декабря 1943г. заместитель командира 48 гвардейского авиационного полка дальних разведчиков.

Экипажи полка вели разведку в районах: Кировоград, Умань, Смела, Знаменка, Днепропетровск, Запорожье, Крыма, Тирасполь, Плоешти, Кишинев, Бырлад, Констанца. 

05 мая 1944г. гвардии майор Звонцов был представлен к ордену Отечественной войны I степени. Приказ о награждении от 28 августа 1944г.

17 июня 1944г. экипаж самолета А-20-В (Луглас): летчик гвардии майор Звонцов, штурман полка гвардии майор Кущ Василий Владимирович, воздушный стрелок-радист гвардии старшина Антонов Василий Степанович, воздушный стрелок Лукоянов Александр Васильевич- выполнил разведку румынских железнодорожных станций Сигет, Денс, Бетлик, выполнил фотографирование пунктов Вале, Ватулуй, Сагей, Бетлик. 

19 июня экипаж Звонцов, Кущ, Антонов, стрелок-радист Буряк Иван Яковлевич- выполнил разведку в районах Сату-Маре, Деж, Бетлик, Варта Дорней.

05 октября 1944г. гвардии подполковник Звонцов был назначен командиром 98 отдельного гвардейского разведывательного авиационного полка. В состав полка входили две эскадрильи, имевшие на вооружении самолеты Пе-2 и Пе-3, и одна (третья) с истребителями Як-9 и «Аэрокобра» (США). Базировался на аэродроме Лабуне (Польша),

За долголетнюю и безупречную службу в ноябре 1944г. Федор Федорович награжден медалью «За боевые заслуги».

В 1945г. полк вел разведку оборонительных рубежей и передвижения войск противника в Польше, Чехословакии и Германии.

Приказом от 10 апреля 1945г. гвардии подполковник Звонцов был награжден третьим орденом Красного Знамени.

Победу полк встретил в Германии на аэродроме Любин (совр.Польша).

Указом Президиума ВС СССР от 27 июня 1945г. Федор Федорович был награжден орденом Богдана Хмельницкого II степени.

Награжден медалями «За взятие Берлина», «За освобождение Праги», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

За долголетнюю и безупречную службу в 1947г. награжден орденом Красной Звезды, в 1955г.- четвертым орденом Красного Знамени.

Гвардии полковник Звонцов был уволен в запас 14 декабря 1965г.