Герой Советского Союза, почётный гражданин города Карачев Брянской области и города-героя Керчь (1989). Во время войны — комиссар 1-го батальона 83-й морской стрелковой бригады 51-й армии Закавказского фронта, майор.

Родился 10 октября 1910 года в селе Рясники ныне Карачевского района Брянской области в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1931 года. Окончил среднюю школу.

В Военно-Морском Флоте с 1932 года. В 1940 году окончил военно-политическое училище. На фронте в Великую Отечественную войну с июня 1941 года.

Комиссар 1-го батальона 83-й морской стрелковой бригады (51-я армия, Закавказский фронт) майор Илья Тесленко возглавлял десантный отряд, высадившийся 24 декабря 1941 года в Керчи.

Захватив две вражеские батареи, майор Тесленко в течение трёх дней управлял боем отряда с превосходящими силами противника. Был ранен, но остался в строю.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 апреля 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, майору Тесленко Илье Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 911).

После войны продолжал службу в ВМФ СССР. В 1948 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава. С 1955 года капитан 1-го ранга И. А. Тесленко — в запасе.

Жил в городе Симферополь (Крым, Украина). До ухода на заслуженный отдых работал инженером на заводе «Фиолент». Скончался 10 ноября 1991 года.

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, медалями, в том числе, так называемым «южным бантом», — медалями «За оборону Одессы», «За оборону Севастополя», «За оборону Кавказа».

На территории бывшей базы торпедных катеров в Карантинной бухте Севастополя установлен памятный знак с барельефом Героя.