Вероятно, учился в Челябинском военном авиационном училище летчиков-наблюдателей. 

Во второй половине 1942г. направлен в Военное авиационное училище разведчиков ВВС Красной Армии (ВАУР), г.Давлеканово (Башкирия). Училище готовило экипажи для разведывательных частей ВВС.

Состав экипажа самолета Пе-2: летчик младший лейтенант Сакеев Дмитрий Васильевич, летнаб (летчик-наблюдатель) лейтенант Старостин Анатолий Александрович, воздушный стрелок-радист сержант Дмитриев Константин Павлович.

Весной 1943г. состоялся первый выпуск училища.

Несколько экипажей-выпускников к апрелю 1943г. прибыли в 48 гвардейский авиационный полк дальних разведчиков. Командир полка- гвардии подполковник Садов Павел Макарович.

Анатолий Александрович вел разведку в составе экипажей 4 авиаэскадрильи полка на Центральном, Юго-Западном, 4-м и 3-м Украинских фронтах, в районах: Харьков, Полтава, Сталино, Днепропетровск, Кривой Рог, Николаев, Херсон, Симферополь, Севастополь и др, по рекам Северный Донец, Ингул. Ингулец, Днепр, Днестр, Прут.

К концу мая 1944г. гвардии лейтенант Старостин совершил 29 успешных боевых вылетов.

Приказом от 18 августа 1944г. был награжден орденом Красного Знамени.

К началу сентября 1944г. выполнил еще 26 боевых вылетов в районы Бырлад, Текучи, Токшаны, Голан, Измаил, Кишинев и др.

Был представлен к ордену Красного Знамени, приказом от 03 декабря 1944г. награжден орденом Отечественной войны I степени.

К средине апреля 1945г. Анатолий Андреевич выполнил еще 21 боевой вылет. Летал на разведку районов Будапешт, Естергом, Секешфехервар, Братислава, Вена, Линц, фотографировал оборону противника по рекам Дунай и Малый Дунай.

Был представлен к ордену Красного Знамени, приказом от 16 июня 1945г. награжден орденом Красной Звезды.

Награжден медалями «За взятие Будапешта», «За взятие Вены», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

Гвардии старший лейтенант Старостин был уволен в запас 24 августа 1946г.

В честь 40-летия Победы награжден орденом Отечественной войны I степени.