Родился 22 сентября 1898 года в деревне Трехлы ныне Чайковского района Пермского края в семье крестьянина. Русский. Образование начальное, окончил школу в селе Уральское. В 1920 году вступил в Красную Армию. В составе 5-й Кубанской кавалерийской бригады громил банды барона Унгерна в Забайкалье, а затем в Монголии. 

 После окончания боевых действий остался жить в Бурятии. В 1920-е годы работал в милиции, на лесосплаве по рекам Селенга и Хилок. Во время событий на КВЖД в составе 105-го стрелкового полка находился в районе реки Аргунь. После демобилизации вернулся в село Бичура, одним из первых вступил в колхоз «Красная звезда». В первое время трудился разнорабочим, а затем, окончив курсы шоферов - в колхозе на «полуторке». Перед войной был заведующим отделением «Сельхозснаб» Бичурского района Бурятско-Монгольской АССР. 

 В феврале 1942 года был призван в Красную Армию Бичурским райвоенкоматом. После непродолжительной подготовки в запасном полку в Забайкалье в составе маршевой роты в мае того же года попал сначала под Москву, а затем в район Тулы. Воевал в составе 896-го стрелкового полка 211-й стрелковой дивизии наводчиком орудия. В одном из боев на Орловском направлении подбил танк, был награжден орденом Отечественной войны 2-й степени. В этом бою был легко ранен, но не покинул поля боя и продолжал командовать огнем своего орудия. Несколько атак немецкой пехоты при поддержке танков были отбиты с большими для нее потерями. В боях на Орловско-Курском направлении в июле 1943 года Е. И. Соломенников был вторично ранен. 

 После излечения и выздоровления попал на Ленинградский фронт, в 546-й стрелковый полк 191-й стрелковой дивизии, только уже командиром отделения 5-й стрелковой роты. Здесь при форсировании реки Нарвы и штурме города Нарвы Е. И. Соломенников совершил свой героический поступок. 

 25 июля 1944 года сержант Соломенников в передовом эшелоне на лодке форсировал реку Нарву в районе города Нарва. Когда на середине реки огнем противника лодка была выедена из строя, а товарищи были убиты или ранены, он вплавь добрался до берега и вступил в бой. Несмотря на легкое ранение, первым достиг траншеи противника, в рукопашной схватке уничтожил двух офицеров и двух взял в плен. Небольшая группа сержанта Соломенникова отразила попытку немцев сбить их с позиции до подхода роты. 

 Захватив плацдарм, 5-я стрелковая рота попыталась его расширить. Командир взвода, в который входило отделение Соломенникова, решил наличными силами перейти в атаку на позиции фашистов. Однако встреченные плотным огнем автоматов и пулеметов наши бойцы залегли, выбыл из боя командир взвода. Сержант Соломенникова принял командование на себя. Когда продвижение роты вперед было остановлено огнем трех пулеметов, сержант Соломенников бросился вперед, ворвался в дзот и в рукопашной схватке лично уничтожил расчет огневой точки. Бойцы его взвода в этом бою уничтожили до 30 немецких солдат, захватили три орудия и много боеприпасов. В этом Соломенников бою был вторично ранен, но поле боя не оставил, пока не получил приказ командира батальона. 

 30 июля командиром полка представлен к званию Героя. Об этом узнал из писем однополчан, когда находился в госпитале. 

 Через три месяца И. Соломенников покинул госпиталь и вернулся в действующую армию. Был направлен командиром отделения разведывательной роты 946-го стрелкового полка 142-й стрелковой дивизии. И здесь проявил себя опытным солдатом, отважным и хладнокровным разведчиком 

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм сержанту Соломенникову Ефиму Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4710). 

 День Победы сержант Соломенников встретил в освобожденной Польше, под Варшавой. В 1945 году был демобилизован. 

 После демобилизации вернулся в Бурятию. Поступил работать лесничим Гочитского лесничества. После ухода на заслуженный отдых жил в селе Бичура. Ветеран трех войн, Е.И. Соломенников часто выступал перед молодежью с рассказами о Великой Отечественной войне, встречался с ветеранами-однополчанами. Скончался 23 января 1986 года. 

 Награжден орденами Ленина, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, медалями. 

 В селе Бичура проходит ежегодный республиканский турнир по боксу памяти Героя Советского Союза Е.И. Соломенникова.