Родился  1919 году в деревне Побоище Республики Башкортостан, получил начальное образование, в 14 лет вступил в комсомол, в 16  стал первым завклубом и секретарем комсомольской  организации. С 15 лет работает продавцом, секретарем сельского Совета крестьянских депутатов, а в 1939 году избирается депутатом Совета.

В 1942 году Григорий призвался в ряды Советской Армии, и с 17 ноября по 9 мая 1945 годы служит в составе 1-ой гвардейской армии 114 инженерно-саперного полка, разведчик, командир саперного отделения. После разгрома фашистов возвращается домой в звании старшего сержанта. Участник парада Победы в Москве 1945.

В 1948 году избирается председателем артели им. Куйбышева. Всю свою энергию и организаторский талант направил на подьём колхозного производства, на улучшение жизни родного села. В трудные послевоенные годы он отказался от личного пайка, отдавая его учителям, в основном они были приезжими и не имели приусадебных участков. По инициативе организатора и при личном участии начальная школа была реорганизована в семилетнюю, построено здание школы, сельский клуб, медицинский пункт, проведена телефонная связь, в домах загорелся электрический свет.

Из воспоминаний бывшего начальника политотдела 6-й ордена Суворова Староконстантиновской инженерно-саперной бригады полковника Н.М. Лапотышкина:

"От Курска до Праги прошел путь уральца. Жив остался Шитов, хотя прошел огонь, воду и медные трубы. Со своим отделением делал проходы в минных полях, строил мосты и переправы, освобождал города и села Белоруссии и Украины, участвовал в разгроме фашистов в Польше и Чехословакии. Григорий был одним из самых опытных и авторитетных разведчиков и истребителей танков... О нём писала армейская газета, его знали в разведотделе армии. В 1943 году я вручал ему партийный билет, а коммунисты избрали его парторгом роты и членом партбюро батальона. На его груди в 1945 году красовались два ордена Красной Звезды, медали "За отвагу" и другие,  и почётный знак "Отличный разведчик" ... Солдаты его любили, командиры уважали, т.к. он был весёлый, спокойный, доброжелательный и отважный, отлично знающий сапёрное и минное дело. Он был душой коллектива... Григорий Степанович участвовал в составе 4го Украинского фронта в параде Победы... Уже будучи в родном селе, секретарь Кугарчинского РККПСС Запольских предложил работать секретарём  райкома комсомола и переехать в райцентр, Вытащил из кармана Григорий потертое в сгибах, выцветшее депутатское удостоверение(депутат сельсовета), протянул секретарю: "Всю войну с ним прошёл, до Праги дошёл, а о родном селе помнил. Плохо в селе живут, скудно, голодно, на коровах пашут землю. Прошу направить меня в село". С уважением взглянул секретарь на молодого солдата, встал, крепко пожал руку на прощание. Через день сессия Побоищенского сельсовета единогласно избрала Г.С. Шитова своим председателем".

Умер 6 декабря 1979 года. Вечная память Героям.