Антон Рыжков родился 5 марта 1920 года в селе Абрамовка (ныне — Таловский район Воронежской области). После окончания начальной школы работал сначала в колхозе, затем на машинно-тракторной станции, на заводе. В октябре 1940 года Рыжков был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С июля 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны[1].

К сентябрю 1943 года гвардии старший лейтенант Антон Рыжков командовал ротой 29-го гвардейского стрелкового полка 12-й гвардейской стрелковой дивизии 61-й армии Центрального фронта. Отличился во время битвы за Днепр. 28 сентября 1943 года рота Рыжкова переправилась через Днепр в районе деревни Глушец Лоевского района Гомельской области Белорусской ССР и приняла активное участие в боях за захват и удержание плацдарма на его западном берегу, отразив большое количество контратак противника. В критический момент боя Рыжков лично поднял свою роту в рукопашную атаку, выведя её из окружения[1].

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года за «мужество и героизм, проявленные при форсировании Днепра и в боях на захваченном плацдарме» гвардии старший лейтенант Антон Рыжков был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Орден Ленина и медаль «Золотая Звезда» он получить не успел, так как 28 января 1944 года погиб в бою. Первоначально был похоронен в братской могиле у деревни Теребово Петриковского района Гомельской области, позднее перезахоронен в братскую могилу на Кургане Славы в Мозыре[1].

Был также награждён орденом Красной Звезды и медалью[1].

В честь Рыжкова в Таловой установлен его бюст[1].