После окончания 4 классов работал механизатором в колхозе. В Красную Армию призван Белокалитвинским РВК в апреле 1942 года. На фронтах Великой Отечественной войны с декабря 1942 года.

Командир отделения 2-й стрелковой роты 91-го гвардейского стрелкового полка (33-я гвардейская стрелковая дивизия, 51-я армия, 4-й Украинский фронт) гвардии младший сержант Рубашкин при прорыве укреплений противника на левом берегу реки Бельбек (6 км. северо-восточнее города Севастополь) 19 апреля 1944 года во главе отделения ворвался во вражескую траншею, истребил несколько гитлеровцев. Был контужен, но поля боя не покинул до подхода подкрепления.

Приказом по 33-й гвардейской стрелковой дивизии от 15 мая 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом доблесть и мужество гвардии младший сержант Рубашкин Алексей Сергеевич награждён орденом Славы 3-й степени.

Стрелок 1-й стрелковой роты 91-го гвардейского стрелкового полка 33-й гвардейской стрелковой Севастопольской дивизии (2-я гвардейская армия, 1-й Прибалтийский фронт) А. С. Рубашкин 5 октября 1944 года при прорыве немецкой обороны на реке Дубиса (30 км. севернее города Расейняй, Литва) первым поднялся в атаку и увлек за собой весь взвод. Из личного оружия уничтожил 16 пехотинцев и трех захватил в плен.

Приказом 2-й гвардейской армии от 12 декабря 1944 года гвардии ефрейтор Рубашкин награждён орденом Славы 2-й степени.

Автоматчик того же полка и дивизия (39-я армия, 3-й Белорусский фронт) Рубашкин 30 января 1945 года в районе посёлка Метгетен (ныне посёлок имени Александра Космодемьянского, входящий в состав города Калининграда Калининградской области) в числе первых ворвался в расположение противника и огнем из автомата сразил 12 гитлеровцев, 4 взял в плен, вывел из строя расчет батареи.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года гвардии старшина Рубашкин Алексей Сергеевич награждён орденом Славы 1-й степени.

В 1945 гду старшина Рубашкин демобилизован. Жил на хуторе Крутинский, долгие годы заведовал молочно-товарной фермой.

Награжден также орденами Красной Звезды (12.04.1945), Отечественной войны 1-й степени (06.04.1985), медалями.

Почетный гражданин города Белая Калитва (1996).

Мемориальная доска А. С. Рубашкину установлена на аллее Славы в парке Маяковского города Белая Калитва.

Также мемориальная доска была установлена в хуторе Крутинском на доме, в котором всю жизнь прожил Алексей Сергеевич.