Родился 30 октября 1904 года в семье крестьянина. Русский. Окончил начальную школу. Работал плотником.

В 1926—1928 годах проходил срочную службу в Красной Армии, в сапёрных частях. После демобилизации жил в городе Чебоксары.

В начале войны возглавлял бригаду плотников в ремонтной конторе Чебоксарского горжилуправления.

В начале 1942 года был вновь призван в РККА и направлен рядовым бойцом в 195-й отдельный сапёрный батальон 139-й стрелковой дивизии, которая с июля 1942 года начала боевые действия на Западном фронте.

С июля 1942 года по март 1943 года красноармеец Рогожников под вражеским обстрелом руководил строительством ДЗОТов в районе деревень Юшнево и Уваровка, ныне Ржевского района Тверской области, в районе Горчаково во время обустройства переправ по своей инициативе вынес с поля боя 10 раненных бойцов с их оружием и оказал им первую медицинскую помощь, в районе деревни Вязовая под огнём противника принимал участие в строительстве командных пунктов, а также обезвредил несколько неприятельских мин. За отвагу и умелые действия Рогожникову присваивается воинское звание сержант.

29 марта 1943 года приказом по 139-й стрелковой дивизии № 05/н подписанным ВРИО командира 139-й СД генерал-лейтенантом Тюриным, командир отделения 2-й роты 195-го отдельного сапёрного батальона сержант Рогожников награждён медалью «За боевые заслуги».

С августа по сентябрь 1943 года в период наступательных боёв, под сильным вражеским огнём Рогожников командуя отделением производил разведку на предмет постройки переправы через реки Остер и Сож, затем, работая в холодной воде, вместе с бойцами возводил эти переправы, сдав их в установленные сроки.

21 октября 1943 года приказом по 139-й стрелковой дивизии № 30/н Рогожников награждён орденом Красной звезды

В 1943 году становится членом ВКП(б)/КПСС.

27 июня 1944 года при строительстве моста через реку Днепр в районе города Могилёва (Белоруссия) под огнём противника во главе отделения сапёров сержант Рогожников участвовал в наведении 100-метрового плавучего моста. Несмотря на обстрел, бомбёжку и смертельную усталость сапёров, мост был сооружён за одну ночь. Действия сапёров обеспечили своевременную переправу частей дивизии. За что был представлен к присвоению звания Героя Советского Союза.

За время боевых действий на подступах к городам Осовец, Ломжа, Остроленко, командир отделения 195-го отдельного сапёрного батальона 139-й СД старший сержантРогожников вместе со своим отделением под огнём противника восстанавливал повреждённые дороги, построил 10 мостов и переправ, чем способствовал успешному продвижению частей дивизии. За что командиром 195-го ОСБ был представлен к ордену Красного Знамени, данное представление поддержали дивизионный инженер подполковник Егоров, командир 139-й СД полковник Кириллов, командир 70-го стрелкового корпуса генерал-лейтенант Терентьев, однако командующий 49-й армии генерал-лейтенант Гришин понизил награду до ордена Отечественной войны II степени, которым согласно приказу по войскам 49 А № 0150 от 30.11.1944 был награждён Рогожников.

Во время зимнего наступления 1944—1945 годов командир отделения 195-го отдельного сапёрного батальона 139-й СД старший сержант Рогожников, исполняя обязанности командира взвода, по пути продвижения дивизии от реки Нарев до города Черск (Польша) вместе со своими подчинёнными оборудовал 21 НП и построил 16 НП для командира дивизии, обезвредил 52 противотанковые и 70 противопехотных мин противника, при взятии города Черск был тяжело ранен, но не покинул своего поста без приказа командира.

30 марта 1945 года приказом по 70-му стрелковому корпусу № 15/н Рогожников награждён орденом Отечественной войны I степени.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм Рогожникову Андрею Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручениемордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

В августе 1945 года младший лейтенант Рогожников был уволен в запас.

Жил в городе Москве, работал начальником продовольственного отдела главного управления Гражданского воздушного флота.

После переезда в столицу Чувашии город Чебоксары работал управляющим базы, затем до выхода на пенсию — помощником директора по хозчасти профессионально-технического училища № 1.

С 1970 года — на пенсии.

С 1984 года жил в городе Горячий Ключ Краснодарского края.

Скончался 6 июля 1986 года. Похоронен на городском кладбище города Горячий Ключ.