Леонид Степанович Потапов родился 7 марта 1903 года в деревне Ново-Никольское (ныне Куртамышского района Курганской области.
Пятнадцатилетним подростком участвовал в Гражданской войне. 
В 1922 году по путёвке комсомола ушёл служить в Военно-Морской флот. Службу начал на кораблях Амурской флотилии.
В 1925 году там же, на Амуре, стал политруком канонерской лодки «Свердлов». Спустя год Потапов, переведённый на Балтику, - комиссар канонерской лодки «Красное Знамя».
С 1926 года - инструктор политотдела флотилии, военком монитора «Свердлов».
В 1929 году Потапов участвовал в боевых действиях на КВЖД, затем служил военкомом сторожевого корабля «Красный Вымпел».
В 1933 году окончил параллельные классы при Военно-морском училище им. Фрунзе, в 1935 году - Учебный отряд подводного плавания им. Кирова.
После окончания параллельных классов был назначен командиром БЧ-3 подводной лодки «Ленинец», затем служил помощником командира подводных лодок «Красногвардеец» и «Щ-305», командир подводной лодки «Щ-302».
С декабря 1938 по апрель 1939 года - преподаватель Учебного отряда подводного плавания им. Кирова.
В мае 1939 года Леонид Степанович назначен командиром подводной лодки «К-23». Лодка была заложена 5 февраля 1938 года в Ленинграде, спущена на воду 28 апреля 1939 года. 25 сентября 1940 года принята в состав флота. Капитан 3 ранга Потапов на протяжении всей службы лодки был её бессменным командиром. 
24 марта 1941 года подводная лодка пришла в село Рыбацкое, 24 июня - в город Беломорск, где проходила профилактический ремонт до осени 1941 года. 
30 сентября 1941 года подводная лодка перешла в город Полярный и вошла в состав 1-го дивизиона бригады подводных лодок Северного флота. С 1941 по 1942 годы участвовала в Великой Отечественной войне, сражалась с врагом на Баренцевом море. Потапов проявил себя одним из лучших командиров подводных лодок Северного флота.
26 декабря 1941 года подводная лодка «К-23» потопила германский тральщик водоизмещением 800 тонн. 
В январе 1942 года подводная лодка под командованием Потапова потопила в Баренцевом море немецкий транспорт водоизмещением 3-4 тысячи тонн. За этот подвиг, а также за отлично проведённые минные постановки у берегов противника капитан 3 ранга Потапов был награждён орденом Красного Знамени. 
28 апреля 1942 года подводная лодка «К-23» под командованием капитана 3 ранга  Потапова вышла в очередной боевой поход. 
12 мая 1942 года лодка атаковала конвой противника в составе транспортов «Карл Леонгард» и «Эмеланд» в охранении сторожевых кораблей и охотников за подводными лодками. «К- 23» торпедой потопила вражеский транспорт, но была атакована сторожевыми кораблями и получила повреждения от прямого попадания одной из 72 глубинных бомб, сброшенных кораблями охранения немецкого конвоя. Вытекающий из лодки соляр обнаруживал местонахождение лодки.
Несколько часов длилась артиллерийская дуэль, в результате которой два фашистских сторожевика были потоплены, но и «К-2З» получила серьёзные повреждения. Израненная лодка в надводном положении малой скоростью направилась к родному месту базирования. Вызванные немецким самолётом-разведчиком фашистские корабли и самолёты окружили лодку, и экипаж принял решение погрузиться в морскую пучину, чтобы не сдаться врагу. На следующий день берлинское радио передало, что в Баренцевом море потоплена советская подводная лодка. 
Капитан 3 ранга Потапов был награждён орденом Красной Звезды. Вместе с командиром погибли ещё 70 человек. 
В 2001 году на средства ветеранов-подводников воздвигнута часовня Св. Николая Чудотворца в Сестрорецке в память о российских подводных лодках, погибших в XX веке. На памятной доске есть и легендарная лодка «К-2З», командиром которой был Леонид Степанович Потапов.
Имя Потапова высечено на памятнике в городе Полярном. В городе Куртамыше его именем назван переулок, на одном из домов которого закреплена памятная доска в его честь. В Куртамышском музее имени  Н. Д. Томина герою-подводнику посвящена экспозиция.