Родился 30 Июля 1919 года в селе Мураши, ныне Тулунского района Иркутской области, в семье крестьянина. Окончил 6 классов неполной средней школы. Жил в городе Чита, работал в типографии газеты Черновских копей ( в Читинской области ). Окончил Читинский аэроклуб. С 1938 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Батайскую военную авиационную школу лётчиков.
С 22 Июня 1941 года сержант А. А Мурашев на фронтах Великой Отечественной войны. По Ноябрь 1944 года служил с составе 155-го ИАП  ( 6 Декабря 1941 года преобразован в 3-й Гвардейский ИАП ); с Ноября 1944 года - в 181-м Гвардейском ИАП.
Летая на истребителях И-153, ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7, воевал в составе 10 различных фронтов, сражался на дальних и ближних подступах к Ленинграду и Сталинграду, на Кубани и Курской дуге. В боях был тяжело ранен, но возвратился в строй.
К середине Декабря 1942 года немецким войскам, несмотря на упорное сопротивление частей Красной Армии, удалось выйти к реке Аксай Есаульский и приблизиться к Сталинграду на 60 км. Было много тревожного в создавшейся обстановке. Опасность прорыва деблокирующих войск стала реальной. Требовались срочные меры, чтобы предотвратить её.
В результате активных действий введённых в сражение частей 4-го механизированного корпуса и других соединений, выдвинутых из резерва Сталинградского фронта, продвижение фашистов на рубеже реки Аксай Есаульский временно было приостановлено. Большую помощь нашим войскам в отражении атак гитлеровцев оказала авиация 2-го смешанного корпуса.
Рано утром 15 Декабря старший лейтенант А. А. Мурашев и сержант М. М. Мартынов вылетели на боевое задание. Ведя разведку, они обнаружили в районах Клыков Южный, Балка Петрушкина до 130, а в 12 км юго - западнее Верхне - Кумского - 50 вражеских танков. В воздух были подняты наши самолёты: 10 Як-1 под командованием Старшего лейтенанта И. И. Нагорных сопровождала группу штурмовиков. Самолёты взяли курс на Клыков Южный. В заданном районе истребители прикрытия связали боем 12 патрульных Ме-109 и 2 из них сбили, остальных не допустили к "Илам", чем обеспечили свободу действий 8 Ил-2, которые подбили и уничтожили 15 фашистских танков. Через 10 минут ещё 2 группы Ил-2 успешно штурмовали танки противника в этом районе.
К Августу 1943 года командир эскадрильи 3-го Гвардейского истребительного авиационного полка  ( 235-я истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, Воронежский фронт )  Гвардии капитан А. А. Мурашев совершил 328 боевых вылетов, провёл 69 воздушных боёв, в которых сбил лично 17 вражеских самолётов и 9 в составе группы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 Сентября 1943 года за мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецко - фашистскими захватчиками, Гвардии капитану Мурашеву Алексею Андриановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда"  ( № 1242 ).
Войну Гвардии майор А. А. Мурашев закончил командиром 181-го Гвардейского истребительного авиационного полка, совершив 423 успешных боевых вылета. Участвуя в 87 воздушных боях, сбил 18 самолётов противника лично и 11 в группе с товарищами.  [ По другим источникам - 22 лично и 9 в группе, в 450 боевых вылетах и 125 воздушных боях. ]
После окончания войны Алексей Андрианович продолжил службу в ВВС, пока здоровье позволяло ему летать на боевых машинах. В 1947 году окончил лётно - тактические курсы усовершенствования офицерского состава. С 1972 года Гвардии полковник А. А. Мурашев - в запасе. До ухода на заслуженный отдых работал мастером отдела технического контроля  ( ОТК )  на заводе шахтной автоматики в городе Днепропетровск ( Украина ). Скончался 16 Июля 1999 года. Похоронен в Днепропетровске.
Награждён орденами: Ленина  ( дважды ), Красного Знамени   ( трижды ), Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени  ( дважды ), Красной Звезды; медалями и иностранным орденом."

Страница солдата создана "Бессмертный полк - Днепропетровск"