Родился 11 февраля 1921 года в Минске в семье инженера. Учился в Белорусском политехническом институте.

Юлий Мостков был призван в армию до войны. С 1941 по 1945 год находился на Западном и 3-м Белорусском фронтах в должности командира взвода и батареи противотанковой артиллерии.Награжден орденами: Красной Звезды, Отечественной войны I степени (два ордена) и Отечественной войны II степени.

В первый год войны родители Юлия Моисеевича — Моисей Маркович и Мария Владимировна Мостковы вместе с дочерью Фирой переехали в Новосибирск из Белоруссии, и так и остались в Сибири. Мария Владимировна до самой пенсии проработала зубным врачом в поликлинике. Моисей Маркович, член Союза журналистов и Союза писателей, работал редактором.

За годы войны родители Юлия Моисеевича получили на него две похоронки, а после войны он встретился со своей семьей уже в Новосибирске. После войны окончил филологический факультет Новосибирского педагогического института в 1949 году. В 1950 году женился на девушке Нине, вместе с которой учился в институте.

С критическими публикациями Мостков начал выступать с 1948 года в газете «Советская Сибирь». Также печатался в «Литературной газете», «Вечернем Новосибирске», газете «Советский воин», в журналах«Сибирские огни», «Литературное обозрение»,«Театральная жизнь», “Сибирская горница”, “Новосибирск”, а также в сборнике«Писатели-сибиряки» (Новосибирск, 1956). Член Союза писателей и Союза журналистов.

В 1949-1969 годах Юлий Моисеевич работал ответственным редактором литературно-драматического вещания Новосибирского радио. Был редактором Западно-Сибирского (позже — Новосибирского) книжного издательства изаведующим литературной частью Новосибирского театра «Красный факел».

Первая его книга — «Анатолий Иванов» — вышла в 1969 году. Затем увидели свет издания «Вторая встреча» (1972), «Умное сердце» (1976), «Елизавета Стюарт»(1982), «О писателях и книгах» (1986). Перу Мосткова также принадлежат критико-биографический очерк «Михаил Михеев» (1992), посвященный жизни и творчеству одного из старейшихсибирских писателей-фантастов и приключенцев, и статьи о «сибирских» предтечах отечественной научной фантастики. В 1995 году вышел его поэтический сборник «Муза в солдатской шинели». В 2003 году в Новосибирске были изданы две книги Мосткова — «Юрий Магалиф. Жизнь и творчество», «В поисках своей песни: очерк о творчестве поэта Н.И. Созиновой». В 2005 году Юлий Моисеевич стал лауреатом премии им. Н.Г. Гарина-Михайловского.

В отличие от нынешних «критиков», Юлий Моисеевич никогда не стремился донести до читателей и радиослушателей подробности личной жизни героев своих статей и книг. Не это главное, считает он. Самое важное — показать своеобразие таланта писателя, поэта, найти лейтмотив их творчества, привлечь внимание читателей к хорошей книге. Это Юлий Моисеевич умел делать виртуозно. Он собирал факты и осмысливал их, открывая подчас «белые пятна» на литературной карте Сибири.

Спектр литературных интересов Юлия Моисеевича был широк и многообразен: поэзия и проза, история и современность. Но всё же лучшие его работы посвящены писателям-фронтовикам. Их творчество было объектом его самого пристального внимания.