Егор Иванович родился 28 августа 1927 года в деревне Лога Калужской области, в крестьянской семье. До армии трудился в родном селе. В 1944 году в 17 лет был призван в армию на Дальний Восток. Здесь Егор Иванович служил в отделе контрразведки 5-й танковой дивизии. В августе-сентябре 1945 года участвовал в войне с Японией в составе 100 танкового полка.
За боевые заслуги награжден орденом Отечественной войны II степени, медалью «За победу над Японией», юбилейными медалями.
В 1951 году демобилизовался из рядов Советской армии.

В Междуреченск семья Мишиных переехала в 1960 году. Более 20 лет проработал на шахте им. Шевякова.
За добросовестный труд награжден медалью «Ветеран труда», неоднократно отмечен почетными грамотами, материальными поощрениями.

Супруги Мишины воспитали 4 детей, имеют 6 внуков и 8 правнуков. В 2016 году Егор Иванович овдовел.