Аполлон Федорович родился в крестьянской семье. Окончив четырехклассное училище \, работал в хозяйстве отца. В 1927 году он был призван в ряды Красной армии. Молодой человек служил в войсках пограничной охраны Объединенного государственного политического управления, там он окончил школу младшего начальствующего состава. Демобилизовавшись в 1929 году, поступил на работу в органы ОГПУ по Северному краю. Затем Аполлон Федорович работал начальником военизированной охраны Архангельского аэропорта гражданского воздушного флота, военным дознавателем в органах исправительно-трудовых учреждений. В 1934 году он окончил шестимесячные юридические краевые курсы и перешел на работу в прокуратуру города Вологды в качестве народного следователя. В июне 1941 года Аполлон Михеев был вновь призван в ряды Красной армии. Аполлон Федорович был награжден медалями: “За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.”, За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.". Отслужив два года, он возвращается и устраивается народным следователем Вологодского сельского района. В феврале 1944 года его назначают временно исполняющим обязанности прокурора Сталинского района города Вологды, а через полгода - временно исполняющим обязанности помощника прокурора области по спецделам. Окончив в 1946 году заочное отделение Ленинградской юридической школы, Аполлон Федорович становится прокурором Сталинского района Вологды, а затем - помощником прокурора города. С 1954 года он начинает работу в областной прокуратуре сначала в качестве прокурора отдела по надзору за местами заключения, потом прокурором отдела по надзору за органами милиции. В октябре 1957 года Аполлон Михеев был вновь назначен помощником прокурора города Вологды и на этой должности проработал до выхода на пенсию в 1961 году.