В апреле 1914 года был призван в ряды в Русской императорской армии и направлен на учёбу в Виленское военное училище, после окончания которого принимал участие в боевых действиях на Румынском фронте, находясь на должностях командира взвода, помощника командира роты и командира пулемётной роты. В апреле 1918 года был демобилизован из рядов армии в чине подпоручика.

В сентябре 1918 года вступил в ряды РККА, после чего был назначен на должность командира роты и батальона в составе Казанского советского полка, в феврале 1919 года — на должность командира батальона сводного полка, преобразованного вскоре в 250-й стрелковый полк (28-я стрелковая дивизия), а в мае 1919 года — на должность начальника связи 5-го стрелкового полка.

С августа 1920 года служил на должностях адъютанта 3-го крепостного стрелкового полка, для поручений при коменданте Сарапульского, Челябинского, Кокчетавского и Акмолинского укреплённых районов, начальника оперативной части и начальника штаба 3-й Сибирской стрелковой дивизии (Народно-Революционная армия Дальневосточной Республики). Принимал участие в боевых действиях на Восточном фронте против войск под командованием адмирала А. В. Колчака.

В августе 1920 года был направлен на учёбу в Военную академию РККА, после окончания которой в сентябре 1923 года был направлен в 13-ю стрелковую дивизию (Северокавказский военный округ), где служил на должностях командира 1-й показной роты (38-й стрелковый полк) и командира роты дивизионной школы, а в июле 1924 года был назначен на должность начальника разведывательного отдела штаба Северокавказского военного округа. Принимал участие в боевых действиях против повстанцев на территории Чечни.

С ноября 1926 года состоял в распоряжении 4-го Управления Штаба РККА, после чего был назначен на должность помощника начальника 4-го отдела этого управления, в декабре 1927 года — на должность помощника начальника 1-го отдела 1-го Управления, в марте 1930 года — на должность начальника военного сектора этого управления, в ноябре 1931 года — на должность командира 7-го стрелкового полка (3-я Крымская стрелковая дивизия, Украинский военный округ), а в сентябре 1934 года — на должность начальника штаба Новоград-Волынского укрепленного района.

В декабре 1934 года Марков был направлен на учёбу на оперативный факультет Военной академии имени М. В. Фрунзе без освобождения от занимаемой должности. В июле 1935 года был назначен на должность начальника 1-го отдела, а затем на должность заместителя начальника и временно исполняющего должность начальника штаба Уральского военного округа. Принимал участие в боевых действиях в ходе советско-финской войны, куда был откомандирован для передачи опыта из штаба Уральского военного округа.

В октябре 1940 года был назначен на должность заместителя начальника штаба Уральского военного округа по организационно-мобилизационным вопросам, в ноябре — на должность командира 98-й стрелковой дивизии, а в марте 1941 года — на должность командира 51-го стрелкового корпуса, который с 16 по 21 июня был передислоцирован с Урала в район пгт Идрица (Псковская область).

В июле корпус под командованием Маркова в составе 22-й армии вступил в бои против 16-й армии и 3-й танковой группы противника на рубеже Идрица — Дрисса, а 16 июля части корпуса были окружены противником. Из окружения сумели выйти отдельными группами, в частности генерал-майор Марков во главе группы в 150 человек вышел из окружения в полосе действий 29-й армии, оборонявшейся южнее 22-й армии.

В ноябре 1941 года был назначен на должность заместителя командующего 20-й армией по тылу, после чего принимал участие в ходе Московской битвы, а в ноябре 1942 годаназначен на аналогичную должность в 27-ю армию, после чего участвовал в боевых действиях во время Демянской наступательной операции, битвы за Днепр и Корсунь-Шевченковской наступательной операции.

С мая 1944 года состоял в распоряжении начальника тыла РККА и в сентябре того же года был прикомандирован к Военной академии имени М. В. Фрунзе, где временно исполнял должность начальника курса.

В ноябре 1945 года Марков был назначен на должность старшего преподавателя кафедры оперативной подготовки академии, в октябре 1946 года — на должность старшего преподавателя по оперативно-тактической подготовке — тактического руководителя учебной группы основного факультета, в марте 1950 года — на должность старшего преподавателя кафедры общей тактики, а в июле 1951 года — на должность старшего тактического руководителя этой же кафедры.

Генерал-майор Аким Маркович Марков в декабре 1954 года вышел в запас. Умер 1 мая 1962 года в Москве. Похоронен на Востряковском кладбище