Алексей Михайлович Максименко родился 12 марта 1924 года в деревне Василевка Клинцовского уезда Гомельской губернии РСФСР (ныне деревня Василевка сельского поселения Влазовичи   Суражского района Брянской области) в крестьянской семье. Окончил 7 классов сельской школы. До призыва в армию с августа 1940 года по декабрь 1941 года трудился на строительных объектах СССР. В 16 лет уехал работать в Красноярский край на стройучасток объединения Сибстрой. Свое 17-летие встретил, работая в Наркомстрой на Курском направлении. С начала войны  трудился на строительстве военных объектов,  железнодорожных узлах и пунктах эвакуации. С сентября по декабрь 1941 года участвовал на строительстве масштабных оборонительных сооружений Волховского направления.

В  начале  августа  1941 года началась  массовая  эвакуация населения Брянской области, в ходе которой эвакуировалась и  вся семья Алексея, проживавшая в Суражском районе. Семья доехала до города Волхова Ленинградской области, где он трудился на оборонных работах.

Вместе с жителями города принимал активное участие в защите Волхова - важнейшего транспортного узла между осажденным Ленинградом и страной. 25 декабря 1941 года происходит освобождение Волховского района от немецко-фашистских  захватчиков. В январе 1942 года на станции Волховстрой вновь начал работать эвакопункт. Алексей направлен сопровождать эшелоны по железной дороге с эвакуированным населением Ленинграда и Ленинградской области в Кировскую область.

В ряды Красной Армии призван на военную службу Даровским РВК Кировской области в августе 1942 года.

Курсант Максименко в течение полугода успешно прошел обучение во 2-м учебном автомобильном полку, который  базировался в Горьковской области, получив  в феврале 1943 года  документы шофера. По его окончанию в феврале 1943 года отправлен в действующую Армию в качестве  шофера-рядового. Свое боевое крещение прошел на Юго-Западном и Воронежском фронте, участвуя в Воронежско-Харьковской стратегической наступательной операции в составе 3-го танкового дивизиона.

С апреля 1943 года и до конца войны воевал в составе фронтовой 11-ой военно-автомобильной дороги  в должности армейского шофера, водил тяжелые артиллерийские тягачи, снабжал армию боеприпасами, ремонтировал боевую технику.  Принимал участие в битве за Харьков,  Курской битве, в битве за Днепр, Будапештской операции со 2-м и  3-м Украинским фронтом по форсированию Дуная. На заключительном этапе войны  участвовал в Венской наступательной операции, в ходе которой советские войска овладели столицей Австрии Веной. Боевой путь в войне он закончил на территории Чехословакии.

Награждён медалями за участие в боевых действиях «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.», «За взятие Вены», через 40 и 50 лет после войны – орденом Отечественной войны 2-ой степени и медалью Жукова. Награжден юбилейными памятными медалями ко Дню Победы.

После окончания Великой Отечественной войны А участвовал в Советско-японской войне. Летом 1945 года с боевыми товарищами через весь Советский Союз проследовал по железной дороге в распоряжение Забайкальского фронта, где бойцы начали воевать с отборными войсками японцев. Второй день Победы Алексей Максименко встретил в Манчжурии. За боевые заслуги награжден медалью «За победу над Японией».

С ноября 1945 года по апрель 1947 года продолжил военную службу в вооруженных силах СССР (65 ДКУ 120 ОДЭБ  и  238 Тяжело-гаубичной бригаде разрушения Приморского военного округа).

В 1947 году демобилизовался из армии и вернулся в город Волхов Ленинградской области, где проживала его эвакуированная семья.

До выхода на заслуженный отдых проработал на Волховском алюминиевом заводе. В 1979 году награжден медалью «Ветеран труда».

Алексей Михайлович Максименко скончался 27 июля 2000 года. Похоронен в городе Волхов Ленинградской области.