В 1919 году был призван в рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1920 году окончил курсы красных командиров.  Участник Гражданской войны, с июля 1941 года – участник Великой Отечественной войны. В звании «гвардии генерал-майор»  командовал 17 гвардейской стрелковой дивизией 39 армии Третьего Белорусского фронта. В период с 13 по 28 января 1945 года дивизия Квашнина прошла более 170 километров, разгромив 7 полков немецкой армии и уничтожив большое количество боевой техники. 19 апреля 1945 года удостоен звания «Герой Советского Союза».

Награды: два ордена Ленина, четыре ордена Красного знамени, два ордена Суворова 2-ой степени, орден Красной звезды.