Родился 20.08.1917 года в деревне Кнутиха ныне Шуйского района Ивановской области в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б) с 1941 года. Жил в городе Кохма, где на фабрике работали родители. Окончив 7 классов, поступил в Ивановский энергетический техникум. Затем продолжил учебу в сельскохозяйственном техникуме в городе Плёс Ивановской области. Окончил только три курса.

В Красной Армии с августа 1936 года, по специальному набору направлен в летное училище. В 1938 году окончил Ворошиловградскую военно-авиационную авиационную школу им. Пролетариата Донбасса. Службу проходил в частях дальнебомбардировочной авиации: младшим летчиком 51 дбап (г. Курск), с августа 1940 года – летчиком, затем командиром звена 100 дбап (Орловский военный округ). Летал на самолетах ДБ-3, ДБ-3ф.

К февралю 1942 года совершил 62 боевых вылета на бомбардировку военных объектов, живой силы и боевой техники в тылу противника. 24.01.42 года представлен к награждению орденом Ленина. 14.02.42 награжден орденом Красного Знамени. В марте 1942 года полк преобразован в 749-й авиационный полк дальнего действия.

Выполнял полеты в глубокий тыл врага, в районы г. Люблин, железнодорожного узла Полоцк, на аэродромы Орша, Борисполь, Смоленск и др. За это время уничтожено 5 самолетов, 13 танков, 24 автомашины с пехотой и грузом, 5 повозок, рассеяно и частью уничтожено до 3 рот пехоты. Не раз срывал оперативные перевозки противника, нанося удары по железнодорожным перегонам и станциям. При налетах на скопления войск противника, пренебрегая опасностью, капитан Кувшинов делал по 2-5 заходов на цель, умело маневрируя в зоне зенитного огня, создавая оптимальные условия штурману для прицельного бомбометания.

В совершенстве владел самолетовождением в сложных метеоусловиях. Для него не существовало нелетной погоды. На своем двухмоторном самолете поднимал в воздух максимум боевой нагрузки (1500-1700 кг) и наносил губительные удары по врагу с минимальных высот (50-100 м).

В июне 1942 года решением военного совета АДД капитан Кувшинов представлен в званию Героя Советского Союза (по представлению от 24.01.42 к награждению орденом Ленина).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 июня 1942 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом доблесть и мужество капитану Кувшинову Александру Кузьмичу присвоено звание Героя Советского Союза.

Высокую награду герой получить не успел. 26.06.42 года капитан Кувшинов не вернулся с боевого задания. Согласно записи в личном деле - "пропал без вести в июне 1942 года". В ряде публикаций - повторил подвиг Гастелло - направил свой подбитый самолет на скопление вражеской техники у переправы.

Награжден орденами Ленина, Красного Знамени.

Его имя увековечено на мемориалах в городах Кохма и Иваново.