Аркадий Кубайкин был призван в Красную Армию Октябрьским райвоенкоматом города Москвы 19 июня 1940 года. Член ВКП(б) с 1944 года. В годы войны служил шофёром транспортной машины 1-го Гвардейского миномётного дивизиона 53-го Гвардейского миномётного полка — возил снаряды для легендарных "катюш". Вместе с полком прошёл боевой путь от Заполярья до Манчжурии. Хорошо играл на гармошке и участвовал в художественной самодеятельности, выступал на фронте на концертах.

7 октября 1944 года награждён медалью "За отвагу за то, что в боях 28 и 30 сентября 1944 года неоднократно попадал под артиллерийский обстрел противника и несмотря на огонь противника, своевременно доставлял боеприпасы на огневую позицию, чем обеспечил успешное выполнение боевой задачи дивизиону.

В 1946 году был демобилизован и вернулся в родную деревню Рунга Буинского района Татарской АССР. Работал до пенсии шофёром в местном колхозе.Умер в 1996 году в городе Ульяновске. Похоронен в посёлке Чердаклы Ульяновской области.