Алексей Иванович Кряквин родился в городе Елец Орловской губернии Российской империи 27 февраля 1914 года. Отец работал на железной дороге, мать воспитывала детей. Жила семья в местечке Затон на берегу реки Сосны.

В 30-е годы Алексей Иванович проходил срочную службу в рядах РККА в артиллерийском училище в городе Одесса. Выразив желание продолжить службу в Красной Армии, был принят на обучение в летное училище, располагавшееся в городе Рогань Харьковской области УССР. После окончания летного училища участвовал в 1939 году в операции на реке Халхин-Гол (Монголия) в боях с японской армией, пытавшейся, помимо Северного Китая, захватить и Монголию. Награжден медалью Монгольского государства. Также участвовал в Советско-Финской войне, где его самолет был сбит, он дотащил товарища до линии фронта, получил обморожение.

В 1940 женился на Анне Дмитриевне Поваляевой, тоже уроженке города Елец. В том же году поступил в Академию командного и штурманского состава ВВС РККА, располагавшуюся в подмосковном городе Монино. После начала ВОВ академия была переведена в Оренбург, где курсанты прошли ускоренный курс до января 1943 года. В Оренбурге родилась дочь Светлана.

После окончания курса Кряквин Алексей Иванович в качестве штурмана бомбардировочной авиации в составе Брянского, Центрального и Белорусского фронтов участвовал во многих операциях ВОВ (Курская дуга, взятие Кенигсберга, освобождение Варшавы, операции «Багратион» (освобождение Белоруссии), взятии Берлина), за что награжден двумя орденами Красной звезды, медалями за освобождение Варшавы, взятие Кенигсберга, Берлина и т.д..

24 июня 1945 года должен был участвовать в воздушном параде Победы, но из-за ливня пролет самолетов был отменен. Алексей Иванович был переведен в состав Забайкальского фронта, где в июле-августе 1945 года участвовал в Квантунской операции против японской армии. Награжден медалью «За победу над Японией». Далее, вплоть до 1954 года служил на территории Китайской Народной республики, уже в составе ВМФ Советской Армии.

После поступления в Академию Высшего Командного состава был переведен на учебу в Москву, после окончания учебы продолжил службу в Москве, в Генеральном штабе ВМФ СССР. В 1970 году вышел в отставку в звании полковника.