Родился 28 мая 1926 года в деревне Саньково Ленинградской области в семье крестьянина. Учился и работал в колхозе в родном селе. В ноябре 1943 года был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С июля 1944 года — на фронтах Великой Отечественной войны. С боями прошел всю Прибалтику,форсировал Одер, освобождал Прагу. К январю 1945 года красноармеец Александр Костин был наводчиком станкового пулемёта 543-го стрелкового полка 120-й стрелковой дивизии 21-й армии 1-го Украинского фронта. 6 февраля 1945 награжден Медалью За отвагу. 10 апреля 1945 года был удостоен звания Героя Советского Союза. После окончания войны продолжил службу в Советской Армии. В 1951 году он окончил Высшую офицерскую школу, служил на Дальнем Востоке. В 1953 году в звании капитана Костин был уволен в запас. Проживал в селе Тамга Лесозаводского городского округа Приморского края, работал в местном колхозе. Был также награждён орденом Отечественной войны 1-й степени и рядом медалей.