В 1936г. окончил 11 военную школу летчиков им.Пролетариата Донбасса (г.Ворошиловград).

Участник Советско-финляндской войны.

Указом Президиума ВС СССР от 20 мая 1940г. лейтенант Конкин был награжден медалью «За отвагу».

К июню 1941г. заместитель командира эскадрильи 16 ближнего бомбардировочного авиаполка 11 смешанной авиадивизии.

В экипаж Михаила Парфентьевича входили штурман Рудковский и воздушный стрелок-радист сержант Карапетян Оник Арамович.

В средине сентября 1941г. части 31 армии вели бои за с.Свапуще (Осташковский р-н, Калининская обл.). Михаил Парфентьевич сбросил бомбы на позиции противника, вторым заходом с бреющего полета обстрелял врага из пулеметов. Командующий 31 армии объявил экипажу  благодарность 

Вторая благодарность была объявлена за выполнение задания по уничтожению позиций противника у с.Руно, третья- за уничтожение вражеского штаба в с.Медвежья Гора. 

Заместитель командира эскадрильи лейтенант Конкин произвел 42 успешных боевых вылета. Был представлен к званию Герой Советского Союза.

Продолжил службу в составе 40 дальнего разведывательного авиаполка.

03 января 1941г. представление поддержал начальник разведотдела штаба ВВС Красной Армии генерал-майор авиации Грендаль Дмитрий Давидович. Указом Президиума ВС СССР от 24 февраля 1942г. был награжден орденом Ленина.

В начале 1942г. переведен в 215 отдельную разведывательную авиационную эскадрилью особого назначения (командир- капитан Берман Семен Давидович, комиссар- старший политрук Артемьев Борис Павлович).

Летал на самолетах Пе-2 и Пе-3.

07 апреля 1942г. над Харьковом самолет был атакован четверкой истребителей Хейнкель. В воздушном бою экипаж сбил один истребитель. Наш самолет был подбит и загорелся, штурман получил ранения и потерял сознание. Михаил Парфентьевич, обжигаемый пламенем, задыхаясь от дыма, сумел перетянуть линию фронта и посадить самолет. Вытащил из кабины штурмана, оказал ему первую помощь, после чего потерял сознание. Экипаж был доставлен колхозниками в ближайший госпиталь.

26 апреля 1942г. эскадрилья обращена на формирование 4 дальнего разведывательного авиационного полка (командир- майор Берман Семен Давидович, военком- батальонный комиссар Артемьев Борис Павлович). 

Михаил Парфентьевич, вернувшийся в полк, был назначен командиром 3-й эскадрильи.

Вскоре, группа пилотов и технических специалистов во главе с майором Берманом была направлена в 22 запасной авиаполк. В составе группы был и старший лейтенант Конкин. В специально оборудованных учебных классах прошли теоретический курс подготовки к полетам и обслуживанию американских истребителей “Аэрокобра”. После сдачи зачетов, летный состав приступил к полетам (средний налет 12 часов), технический состав в составе сборочных бригад запасного авиаполка собирал самолеты для своей части. Переучивание проходило в течение 27 дней. 

К началу июля на счету Михаила Парфентьевича были 70 успешно выполненных боевых вылетов, 40 из которых- на разведку глубокого тыла противника. Он был представлен к званию Герой Советского Союза. Звание присвоено Указом Президиума ВС СССР от 23 ноября 1942г.

В июле 1942г. присвоено внеочередное воинское звание- капитан.

Награжден медалями «За оборону Москвы» и «Оборону Ленинграда».

В январе 1943г. командование полком принял подполковник Артемьев Борис Павлович.

Капитан Конкин командовал 3 авиаэскадрильей полка. 

В июне 1943г. полк был преобразован в 98 отдельный гвардейский разведывательный авиаполк. 

07 августа гвардии капитан Конкин и гвардии старший лейтенант Сачков Виктор Петрович, взлетев с аэродрома Курск, выполнили разведку в районе Шаблыкино- Карачев- Навля. 

В августе 1943г. Михаилу Парфентьевичу присвоено звание майор.

В 1943г. выполнил 7 успешных боевых вылетов. Эскадрилья под его командованием совершила 506 боевых вылетов, 432 из которых- успешные.

Выполнив 09 апреля 1944г.  очередной успешный боевой разведывательный вылет (ведущим в паре с гвардии капитанм Поволокиным Захаром Ивановичем), гвардии майор Конкин передал командование эскадрильей своему заместителю- гвардии капитану Сачкову Виктору Петровичу. 

В конце 1944г. в воздушном бою самолет Михаила Парфентьевича был сбит, штурман и стрелок-радист погибли. Михаила Парфентьевича, получивший ожоги и ранения, выбросился с парашютом. Попал в плен, бежал и вернулся в строй.

За годы войны совершил более 200 боевых вылетов.

Награжден медалями «За взятие Кенигсберга», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

За долголетнюю и безупречную службу в 1946г. был награжден медалью «За боевые заслуги».

Гвардии майор Конкин был уволен в запас 14 февраля 1948г.