Призван в РККА в 22 сентября 1941 года и был направлен стрелком в 1239 стрелковый полк 373 стрелковой дивизии. Эта дивизия была сформирована в городе Чебаркуль Челябинской области осенью 1941 года. Личный состав дивизии состоял из мобилизованных рабочих, колхозников и служащих Башкирской АССР и Челябинской области, а также частично из воинов, вернувшихся в строй из госпиталей. 15 ноября 1941 года пятью эшелонами дивизия отправилась на фронт. 19 ноября части дивизии стали прибывать в Грязовец Вологодской области, где формировалась 39 Армия. 27 ноября 373 стрелковая дивизия прибыла в местечко Кукобой Ярославской области откуда была направлена в город Торжок. Получив оружие и совершив марш к фронту, части дивизии на рассвете 22 декабря 1941 года, в ходе продолжавшегося контрнаступления наших войск под Москвой, вступили в бой на одном из участков Калининского фронта в Тверской области.

         В первые же дни боевых действий была прорвана немецкая оборона. Наступая в южном направлении дивизия прошла с боями около 250 километров, освободила сотни населённых пунктов, взяла у противника большие трофеи. 8 января 1942 года дивизия одной из первых форсировала Волгу и с запада подошла к городу Ржев. После нескольких дней ожесточённых боёв был осуществлен прорыв и атакован важный опорный пункт противника город Сычёвка. Однако немцам удалось удержать его. 27 марта 1942 года Климентий Степанович был ранен и направлен 1897 эвакуационный госпиталь, размещавшийся в поселке Кольчугино Владимировской области. После излечения, в июне 1942 года, он был направлен 145 запасной стрелковый полк Калининского фронта, откуда затем назначен на должность шофера в 4 батальон 10 автомобильного полка Калининского, с октября 1943 года - 1 Прибалтийского фронта. В июле 1944 года полк вошел в состав 2 автомобильной бригады.

          3 сентября 1944 года рядовой Кочкин К.С. был награжден медалью "За боевые заслуги".

          В апреле - мае 1945 года 10 автомобильный полк, эшелонами, был отправлен на Дальний Восток для участия в войне с Японией. В июле 1945 года он вошел в состав 10 механизированного корпуса 1 Дальневосточного фронта в районе города Ворошилов (Уссурийск). В августе 1945 года корпус участвовал в Маньчжурской стратегической наступательной операции и закончил войну в городе Гирин, на территории Китая. 1 сентября 1945 года Климентий Степанович был награжден второй медалью "За боевые заслуги".

Демобилизовался в 1946 году.