Кильдишов Алексей Иванович родился 7 января 1922 года в д. Красное-Озеро Чучковского района Рязанской области.

В 30-е годы переехал в г. Баку Азербайджанской ССР.

По окончании 10 класса средней школы по специальному набору в мае 1940 года был принят в 50 школу младших авиаспециалистов в г. Кабулети. С началом Великой Отечественной войны Алексею Кильдишову было присвоено звание сержанта, и он был направлен в запасной полк в г. Кировобад. С 1941 года был зачислен в 244 ближний бомбардировочный авиационный полк. В этом полку проходили боевые тренировки по специальности «механик авиационного вооружения». По окончании программы тренировок полк послали во фронтовую дивизию.

Во время боевых действий были большие потери самолётов, поэтому приходилось часто пополнятся материальной частью (самолётами) и личным составом.

После двукратного пополнения полк перешел на другие самолёты. Ввиду больших потерь самолётов, их решено было сопровождать истребителями. Сопровождение производилось полком И.А.Покрышкина, который сам неоднократно прилетал в полк.

В 1944 году на Кубани на аэродроме Алексей Кильдишов был ранен. После ранения по решению военной комиссии он был переведен в 233 истребительный авиационный полк, которым командовал дважды герой Советского Союза майор А.Е. Боровых. В этом полку Алексей Кильдишов служил до окончания войны и дошел до Берлина.

В период с 1941 г. по 1945 г. Алексей Кильдишов прошел с боями от Кавказа до Берлина, принимал участие в битве на Курской дуге.

Алексей Кильдишов был награжден орденом Отечественной войны II степени; медалями: «За оборону Кавказа», «За взятие Берлина», «За Победу над Германией» и др. Приказом Верховного Главнокомандующего, Маршала Советского Союза И.В.Сталина Алексею Кильдишову была объявлена благодарность за участие в боях.

После окончания войны полк, в котором служил Алексей Кильдишов, был расформирован. С 1945 г. по 1946 г. он служил в корпусе сына И.В.Сталина — Василия Иосифовича Сталина.

В ноябре 1946 года по семейному положению Алексей Кильдишов был демобилизован.