Родился в с. Кукелево 19 сентября 1916 года, согласно актовой записи о рождении, по новому стилю. Потомок первопоселенцев Кибиревых, Щепиных и Макаровых. Отец казак Алексей Мисаилович Кибирев. Мать Анна Георгиевна в девичестве Макарова. Отец вступил в колхоз "Уссуриец" в 1931 году. Ошибочно записывали как Кибаров (Киберев) Михаил Алексеевич.

Был призван в декабре 1939 года Белоглинским РВК Краснодарский край. В звании старший лейтенант, в должности командира танкового взвода, в составе 1-го танкового батальона 46-ой гвардейской краснознаменной танковой Днестровской бригады. Воевал на Брянском фронте с сентября 1941 года по декабрь 1941 года, вернулся на Брянский фронт в июле 1942 года до декабря 1942 года, попал на Юго-Западный фронт с марта 1943 года по июнь 1943 года, с 11 ноября 1944 года и до гибели на 2-ом Украинском фронте.

В боях за д. Хонт Венгрия (Словакия) 6 декабря 1944 года проявил мужество и отвагу. Кода загорелся его танк в бою, не взирая на сильный огонь противника и активность авиации, рискуя жизнью, своим личным примером увлек экипаж за собой, потушил танк и продолжил уничтожать технику и живую силу врага. Танк Михаила Алексеевича Кибирева уничтожил одну противотанковую пушку, четыре танковых пулемета и до 12 солдат и офицеров противника.

В бою за д. Лонтов Венгрия (Словакия) 22 декабря 1944 года находясь со своим взводом в разведке, первым ворвался в деревню, огнем своей пушки уничтожил 2 орудия противника, бронетранспортер и до 15 гитлеровцев. Наведя панику на противника, прорвался через противотанковый артиллерийский заслон, выйдя на шоссе за деревню, гусеницами танка раздавил противотанковую пушку. Танк был подбит. Михаил Алексеевич Кибирев вел огонь из всего танкового оружия и продолжал отбиваться от наседающих немцев. Вторым снарядом танк был подожжен. Старший лейтенант Михаил Алексеевич Кибирев погиб смертью храбрых.

Погиб 23.12.1944 года. Похоронен в д. Лонтов, Нитранский край, Словакия (Чехословакия, Венгерская - Лонто). Судьба захоронения не установлена. Жена Полина Ивановна Кибирева, похоронку получала и проживала в 1945 году в Краснодарском крае, Балтасинском районе.