Алексей Александрович родился в 1919 году в селе Нижняя Пеша Мезенского уезда Архангельской губернии (ныне Ненецкий автономный округ Архангельской области).

Член ВЛКСМ. Работал в районной конторе связи, был зав.клубом в родном селе. С 1939 в Красной Армии. После окончания школы младших авиационных специалистов в 1940 году получил специальность стрелка-радиста. В 1941 году в звании старшего сержанта был назначен на должность стрелка-радиста в 4-ю эскадрилью 207-го полка в экипаж командира эскадрильи Николая Гастелло. С 24 июня экипаж Н. Гастелло находился в составе 2-й эскадрильи 207-го авиаполка. 

В одном из последних писем родным сообщал: «Спасибо комсомолу, спасибо армии за воспитание тысяч соколов, за воспитание меня. Они открыли путь в жизнь, и за неё я свою не пожалею отдать, если это потребуется».

В первый день Отечественной войны в составе экипажа участвовал в воздушном бою в районе города Сувалки. Через день во время воздушного боя под Брестом из пулемёта сбил вражеский истребитель.

26 июня 1941 года экипаж самолёта Н. Ф. Гастелло, в составе которого был ст. сержант А. А. Калинин, бомбил немецко-фашистские войска на подступах к Минску. Когда от попадания зенитного снаряда загорелся советский бомбардировщик, экипаж направил пылающий самолёт на скопление вражеской техники на бензозаправочном пункте у шоссе Молодечно — Минск. Погибли все члены экипажа: капитан Н. Ф. Гастелло, лейтенант А. А. Бурденюк, лейтенант Г. Н. Скоробогатый и старший сержант А.А.Калини.

Алексей Александрович посмертно награждён орденом Отечественной войны I степени.

Место захоронения: Молодечненский р-н, северо-западная окраина г.п. Радошковичи, у шоссе Молодечно-Минск.