Родился 22 сентября 1904  года в с. Большие Меми Российской империи, ныне Верхнеуслонского района Татарстана, в семье крестьянина. Русский.

После окончания сельской школы работал шахтёром в Кузбассе, затем председателем рабочкома в совхозе Мамадышского района Татарской АССР.

В рядах Красной Армии — с июля 1942 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1941 года. В 1942 году Гаврилов был призван в армию с направлением в Казанское танковое училище. Не окончив его, досрочно получил звание младшего командира и был отправлен в Москву, где получил новый танк «Т-34» и тут же отбыл на фронт. Боевое крещение Аким Андреевич принял на Курской дуге радистом-пулемётчиком. Под Полтавой был ранен и попал в госпиталь на три месяца, но, не долечившись, сбежал в свою часть. Однако его ждал не фронт, а армейская школа средних командиров.

Вскоре вновь поле боя, на котором танкист возглавил взвод стрелков-гвардейцев. Зимой 1944  года шло освобождение Правобережной Украины. Весенняя распутица не позволила легко пре­одолеть реку Горный Тикич (в районе села Антоновка Маньковского района Черкасской области), ставшую барьером между немцами и советскими частями. Как и положено было по военной стратегии в ситуации, когда одни наступают, а другие преследуют, отступающие взорвали мосты через реку и уничтожили все возможные плавсредства. Утром 6 марта 1944  года Аким Гаврилов и его бойцы пошли в ледяную воду. Руки и ноги сводило от холода, но вскоре выпала возможность разогреться в бою, когда перестрелка перешла в рукопашную. Ранение в шею не остановило его: наспех перевязав рану с помощью автоматчика, он вновь бросился вперёд. Возле одного из домов заметил легковые машины, что свидетельствовало о том, что это и есть штаб. Пулемётный огонь из окон и дверей дома удалось подавить гранатами. В итоге добычей Акима Гаврилова стали ценные штабные документы. Много было потом боёв, сражений, но именно этот подвиг и был отмечен Звездой Героя.

Семь месяцев лечился Аким Андреевич в госпитале от полученного ранения и вернулся в Татарию на костылях. В сентябре 1944  года он был уволен в запас.

В 1945  году, в канун Дня Советской Армии будущий почётный елабужанин, а тогда боец Красной Армии Аким Гаврилов, прибыл в столицу Советского Союза Москву для получения одной из почётных наград страны — «Золотой Звезды» Героя Советского Союза. 22 февраля 1945  года награда, как это принято в таких случаях говорить, «нашла героя».

Последние годы жизни героя были связаны с Елабугой (он был некоторое время заместителем председателя Елабужского горисполкома), где скончался 22 января 1982  года.