Полный кавалер Ордена Славы.
Алексей Васильевич - помощник командира взвода 161-го укреплённого района ( 2-я ударная армия, 2-й Белорусский фронт), гвардии старший сержант- на момент последнего представления к награждению Орденом Славы.
Родился 11 апреля 1921 года в деревне Крючок, ныне Пустошкинского района Псковской области. 
Работал бригадиром в колхозе. С 1939 года жил в Ленинграде, трудился в тресте "Ленавтогужтранс"
В октябре 1940 года призван в Красную Армию Выборгским райвоенкоматом. Направлен на Тихоокеанский флот. Начало войны встретил курсантом школы младшего начсостава флота на острове Русский, в городе Владивосток.
В октябре 1941 года направлен на действующий фронт. Боевое крещение принял под Москвой в ноябре 1941 года, в составе 15-й отдельной лыжной бригады. Являлся командиром лыжного отделения роты автоматчиков. В начале 1942 года остатки бригады были выведены в тыл, в Челябинск на переформирование.
В дальнейшем участвовал в защите Ленинграда, на Синявинских высотах. В марте 1943 года переведён во 2-ю гвардейскую воздушно-десантную дивизию, в её составе участвовал в сражении на Курской дуге. Был ранен, после госпиталя направлен в 1-й гвардейский танковый корпус, участвовал в боях за освобождение Белоруссии. Был снова ранен. Вернувшись на фронт воевал в составе разведывательной роты 161-го укреплённого района.

17 января 1945 года в районе города Ломжа (75 км западнее города Белосток, Польша) гвардии старший сержант Гавеев А.В. с двумя бойцами проделал проход в минном поле, обеспечив путь основной группе разведчиков. Был представлен к награждению орденом Красной Звезды.
20-21 февраля 1945 года юго-западнее города Мариенбург (ныне Мальборк, Польша) Алексей Васильевич смело действовал при захвате "языка", затем огнём из автомата прикрывал отход разведчиков в своё расположение. Представлен к награждению орденом Славы 2-й степени.
Приказом по войскам 2-го Белорусского фронта (№224) от 6.03.1945 года гвардии старший сержант Гавеев А.. награжден орденом Славы 3-й степени.

9 марта 1945 года,  во главе группы разведчиков, ворвался в населённый пункт Пиккель. Сломив заслон проттивника и прочесав лес освободил ещё несколько населённых пунктов. Взял в плен 9 гитлеровцев. Был представлен к награждению орденом Славы.
Продолжал службу в группе оккупационных войск в Германии. В июле 1946 года гвардии старшина Гавеев А.В. - демобилизован.

Вернулся в Ленинград. в 1952-1956 годах проходил службу в милиции, уволен по состоянию здоровья, сказались фронтовые ранения.
В дальнейшем работал на заводе "Вперёд".

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 октября 1968 года Гавеев Алексей Васильевич награжден орденом Славы 1-й степени. Стал полным кавалером ордена Славы.
Жил в городе Санкт-Петербург. Скончался 6 апреля 2008 года. Похоронен на Смоленском православном кладбище города Санкт-Петербург.