Родился 18 октября 1923 года в крестьянской семье в селе Мефодовка Харьковской губернии (ныне Середино-Будский район, Сумская область, Украина). Украинец. Окончил 7 классов. Работал в колхозе. В Красную Армию был призван Хильчицким РВК Хильчицкого района Сумской облатси Украинской ССР в июле 1941 года. На фронте в Великую Отечественную войну с августа 1941 года. Сражался с 22 июля 1941 по 30 сентября 1942 года на Юго-Западном, Южном, 3-м Украинском, 1-м Белорусском  фронтах. Командир отдельной роты автоматчиков 986-го стрелкового Сталинского полка 230-ой стрелковой Сталинской дивизии  5-ой ударной армии  1-го Белорусского фронта. 22 января 1942 года был ранен на Юго-Западном фронте. Комсомолец младший сержант Григорий Эсаулко, в ходе боёв в восточной части столицы гитлеровской Германии — города Берлина, охранял штаб полка. 26 апреля 1945 года во время передислокации штаб столкнулся с группой гитлеровцев, скрывавшихся в подвальных помещениях. Смело и решительно вступив с ними в бой, младший сержант Эсаулко нанёс им значительные потери, но и сам погиб в рукопашной схватке. Похоронен в городе Мендзыжеч (Любушское воеводство, Польша).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество младшему сержанту Эсаулко Григорию Григорьевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Награждён орденом Ленина, орденом Красной Звезды, медалью.