Родился 24 декабря 1923 года в селе Большая Владимировка Бескарагайского района Семипалатинской области Казахстана.

В Красную Армию призван в декабре 1942 года и направлен на фронт. Член ВКП(б)/КПСС с 1945 года.

Командир отделения разведки 20-й отдельной разведывательной (69-я стрелковая дивизия, 65-я армия, Центральный фронт) комсомолец сержант Сергей Елистратов 15 октября 1943 года с группой разведчиков переправился через реку Днепр в районе посёлка городского типа Радуль Репкинского района Черниговской области Украины и отразил три вражеские контратаки, взорвал дзот противника, захватил контрольного пленного и добыл ценные разведывательные данные о состоянии гитлеровской обороны на правом берегу Днепра.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм сержанту Елистратову Сергею Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1626).

В 1945 году С.А. Елистратов окончил Ленинградское артиллерийское училище. Гвардии лейтенант Елистратов С.А. безвременно ушёл из жизни 14 сентября 1947 года в неполные 24 года... Похоронен в городе Буйнакск (Дагестан).

Награждён орденом Ленина, медалями.