Родился 16 июня 1925 г. в селе Чибиязовка Жердевского района Тамбовской области. Мать - учительница, отец - бухгалтер. Жизненный путь Юрия Алексеевича впечатляет. Участник Великой Отечественной войны. Имеет правительственные награды: ордена Отечественной войны 2-й степени, «Знак Почета» и восемь медалей.

 После окончания Великой Отечественной войны Ю.А. Елагин учился в школе рабочей молодежи в Москве, где проживали его родители. В 1951 г. с отличием окончил Московский институт народного хозяйства им. Г.В. Плеханова по специальности «Товароведение промышленных товаров». До 1967 г. Юрий Алексеевич работал в УРСе комбината «Свердловск - Уголь», занимая последовательно должности: старшего товароведа, заместителя директора универмага, заместителя начальника ОРСа, начальника ОРСа.

 В феврале 1967 г. Ю.А. Елагин перешел на преподавательскую работу в Свердловский филиал МИНХа. С августа 1967 г. он исполнял обязанности декана товароведно-экономического факультета, а с октября 1967 г. Юрий Алексеевич возглавил товароведный факультет Свердловского института народного хозяйства. Здесь он работал в течение двух лет. По его просьбе был освобожден от занимаемой должности в связи с необходимостью сосредоточиться на подготовке кандидатской диссертации, которую успешно защитил в 1972 г. В 1973 г. Ю.А. Елагину было присвоено ученое звание доцента. В 1974 г. Юрий Алексеевич был избран на должность заведующего кафедрой организации и техники торговли, которая при нем была укрупнена и преобразована в кафедру экономики, организации и управления торговлей. В июле 1976 г. приказом Министра высшего и среднего специального образования РСФСР Ю.А. Елагин назначается проректором по заочному и вечернему обучению. В этой должности он проработал в течение тринадцати лет. С 1989 г. Юрий Алексеевич работал доцентом кафедры экономики, организации и управления торговлей. Несколько лет назад вышел на заслуженный отдых.

 За высокие результаты по организации и совершенствованию учебного процесса, эффективную деятельность по расширению экономического образования Ю.А. Елагин в 1986 г. был награжден орденом «Знак Почета».

За многолетнюю научно-педагогическую деятельность, большой вклад в дело подготовки высококвалифицированных специалистов Ю.А. Елагин приказом Министра общего и профессионального образования Российской Федерации награжден нагрудным знаком «Почетный работник высшего профессионального образования России».