Родился 23 августа 1924 года в деревне Ешимово Новоторьяльского района марийской АССР. Мари, из крестьян.
Служба в Вооруженных силах – с августа 1942 года. Служба в рядах Советской Армии началась с обучения в 15-ом учебном мотоциклетном полку, который располагался на станции Тишино Горьковской области. С февраля 1943 по март 1944 годов служил мотоциклистом сначала в 1-ой Армейской эвакороте, затем в 513-ом отдельном огнеметно-танковом батальоне. В составе последнего Алексей Иванович принимал непосредственное участие в военных действиях против немецко-фашистских захватчиков на Юго-Западном, 2-ом Прибалтийском и 3-ем Белорусском фронтах. Демобилизовался Алексей Иванович в марте 1947 года из 184-го отдельного Гвардии танкового батальона, 97-го механизированного полка 30-ой механизированной дивизии города Черняховцы.
Участник Отечественной войны 1941-1945 годов.
В 1950 году поступает на службу в органы КГБ при Совете Министров Марийской АССР, где проработал до 1964 года на должностях оперативного состава.
С октября 1964 года по январь 1971 года состоял на государственной службе. В этот период, в 1965 году, Алексей Иванович оканчивает заочно юридический факультет Казанского Государственного университета имени В.И. Ульянова-Ленина.
За требовательность, дисциплинированность и организаторские способности Алексей Иванович, будучи офицером запаса, в январе 1971 года был зачислен в действующий резерв МВД и назначен на должность начальника отделения фельдъегерской службы при производственно-техническом управлении связи Марийской АССР.
Имея большой практический опыт руководящей работы, в результате правильно поставленной организаторской и воспитательной работы, в отделении, возглавляемом Алексеем Ивановичем, с каждым годом улучшались производственные показатели, укреплялась трудовая и воинская дисциплина. В 1977 году отделению присвоено звание «Отличное подразделение службы».
В январе 1978 года Алексей Иванович назначен на должность начальника отдела фельдъегерской службы при производственно-техническом управлении связи Марийской АССР, на которой он проработал до октября 1984 года. В коллективе его отдела 59% сотрудников являлись «Отличниками службы». В 1983 году Приказом Министерства связи СССР № 06 от 30 января 1984 года отделу присвоено звание «Образцовое подразделение фельдъегерской службы 1983 года», начальнику отдела подполковнику внутренней службы Егошину Алексею Ивановичу вручена Почетная Грамота и памятный вымпел Министерства связи СССР.
Награжден орденом «Красной Звезды», двумя медалями «За Отвагу», медалями «За победу над Германией», «За взятие Кенигсберга», «За безупречную службу III-I степеней», «Ветеран труда», нагрудным знаком «За отличную службу в МВД».