Родился в селе Ивонченцы, Полтавской области. После школы примкнул к  кавалерийской бригаде и был оформлен как сын полка, затем окончил танковое училище.

Одну из своих наград – Орден отечественной войны 1-ой степени Е. Г. Дробыш получил на реке Шешупе (на границе с Пруссией). Боевым побратимом  Е. Г. Дробыша стал Александр Космодемьянский, посмертно Герой Советского Союза.

Неоднократно был ранен, но Победу встретил в Берлине, где прожил некоторое время. Затем вернулся на Родину, командовал Лубянской Чапаевской дивизией, расквартированной в Таллине.

Командир 350-го гвардейского тяжёлого самоходно-артиллерийского Оршанского Ордена Кутузова полка (05.10.1944 - 09.05.1945), преобразованного из 1445-го самоходного артиллерийского Оршанского полка.

1445-й самоходный артиллерийский полк сформирован в марте 1943 г. За отличие в боях за овладение городом и оперативно-важным железнодорожным узлом Орша 06.07.1944 г. полку присвоено звание «Оршанский».

В составе 11-й гвардейской Армии 3-го Белорусского Фронта 350-й ГТСАП участвовал в освобождении Белоруссии,  Литвы (г.Вильнюс, г. Каунас), в Инстербургско-Кёнигсбергской наступательной операции .

Приказом Народного Комиссара Обороны от 17 мая 1945 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с фашистскими захватчиками при овладении городом и крепостью Кёнигсберг и проявленные при этом доблесть и мужество полк награждён Орденом Кутузова 3-й степени.