Родился в г. Екатеринодаре в рабочей семье.

В 1940 г. был призван на воинскую службу в ряды РККА. С июня 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К ноябрю 1943 года гвардии ефрейтор Василий Дробязко был стрелком 6-й роты 1-го гвардейского стрелкового полка 2-й гвардейской стрелковой дивизии 56-й армии Северо-Кавказского фронта. Отличился во время боёв на Керченском полуострове.

В ночь со 2 на 3 ноября 1943 года Дробязко в составе десантной группы, несмотря на шторм, успешно переправился через Керченский пролив и высадился на побережье полуострова, а затем первым в группе достиг траншеи противника и вступил в рукопашную схватку. 16 ноября 1943 года в ходе боёв за расширение плацдарма Дробязко принял командование штурмовой группой.

7 мая 1944 года полк участвовал в штурме Сапун-горы, одним из первых ворвался на вершину и водрузил знамя стрелок 6-й стрелковой роты полка гвардии ефрейтор Василий Дробязко.

В мае 1944 г. гвардии ефрейтор Василий Дробязко был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

В 1945 году в звании сержанта Дробязко был демобилизован. Проживал и работал в Краснодаре.

Был также награждён двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, рядом медалей.