Леонид Дробязка родился 18 августа в Москве, в семье белорусских врачей Дробязко, переехавших в столицу во время Первой Мировой войны. При рождении родители решили дать Леониду фамилию оканчивающуюся на "а", чтобы она звучала на русский манер.
Рос и учился в подмосковной Балашихе. После окончания восьмилетки отправился на лето к родственникам в Белоруссию, где и застал начало войны. Несмотря на юный возраст (через месяц ему исполнялось только 17), уже в первые дни войны он вступил в отряд белорусских партизан. Леонид вместе с партизанами взрывал железнодорожные пути и мосты, помогал при атаках на немецкие патрули.
Уже к осени он зарекомендовал себя как смелого и ответственного бойца. Тогда, в начале сентября, ему было поручено важное задание: доставить донесение из окружения в тыл. Путь был неблизкий, так что по дороге Леонид зашёл в небольшую деревню Бездеж, где попросил ночлег у крестьянина по имени Владислав Кожин. Кожин же был бывший кулак и очень не любил советскую власть. Вызнав у гостя кто он и откуда, Кожин приготовил кровать, а сам дождался темноты и сообщил о партизане находящемуся неподалеку отряду немцев.
Проснувшись ночью от шума во дворе, Леонид увидел в окне немцев, окружающих дом. Поняв, что происходит, Леонид спичками спалил донесение, попытался бежать, но был схвачен фашистами и приговорен к расстрелу. 15 сентября приговор был исполнен.