Константин Александрович Целаков родился 5 октября 1925 года в деревне Навищи Охватского сельского совета Пеновского района Великолукской области (сейчас г.Великие Луки входит в состав Псковской области).

Был призван в РККА 8 января 1943 года Нейским РВК Ярославской (ныне Костромской) области. Участвовал в боевых действиях с января 1943 года до 3 сентября 1945 года.

Константин Александрович Целаков служил стрелком в войсковой части № 55315 с 1 января 1943 года, а с января 1944 года до 1945 года - командиром орудия в войсковой части № 92595.

Затем, с апреля 1945 года, Константин Александрович Целаков проходил воинскую службу на 1-ом Дальневосточном фронте в войсковой части № 12801 в должности начальника зарядно-аккумуляторной станции. Вскоре он получил очередное воинское звание - младший сержант. С 9 августа по 3 сентября 1945 года в составе своей войсковой части Константин Александрович Целаков участвовал в боевых действиях в войне с Японией шофером. Вместе с боевыми товарищами он подвозил топливо к танкам. Работали по 20 часов в сутки. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 сентября 1945 года Константин Александрович Целаков был награжден медалью «За победу над Японией».

В октябре 1946 года Константину Александровичу Целакову было присвоено очередное воинское звание - сержант. С января 1947 года он продолжал службу в войсковой части № 23479, работал шофером-автомехаником, а через месяц был переведен в войсковую часть № 62393 шофером-электромехаником. Указом Верховного Совета СССР от 22 февраля 1948 года Константин Александрович Целаков был награжден медалью «30 лет Советской Армии и Флота».

Константин Александрович  продолжал службу в Вооруженных Силах СССР до 1950 года. В мае 1950 года ему было присвоено звание старшего сержанта. 28 января 1950 года на основании Постановления Совета Министров ССР Константин Александрович был уволен в запас.

После демобилизации Константин Александрович Целаков работал механиком в поселке Ролдуга, начальником лесопункта в поселке Козья Речка и в посёлке Абросимово Нейского района.

Был женат, имеет двух сыновей и дочь. Умер в 1983 году.