Родился 13 ноября 1922 года (по документам — 13 ноября 1920 года) в деревне Вяльково (ныне не существует, территория Гагаринского района Смоленской области). Детство и юность провёл в деревнях Борняки и Резанова (ныне не существуют, территория Гагаринского района), с 1935 года жил в деревне Воскресенское (ныне в черте села Пречистое, Гагаринский район). В 1937 году окончил 7 классов школы (которая теперь носит его имя) в селе Пречистое, в 1939 году — школу ФЗУ при заводе «Борец» и Дзержинский аэроклуб в Москве. Работал модельщиком по дереву на заводе «Борец». В армии с мая 1940 года. В октябре 1940 года окончил Серпуховскую военную авиационную школу лётчиков. Служил лётчиком в морской авиации (ВВС Балтийского флота). Участник Великой Отечественной войны: в июне-октябре 1941 — лётчик 5-го истребительного авиационного полка ВВС ВМФ, в октябре 1941 — январе 1943 — лётчик и командир звена 71-го истребительного авиационного полка ВВС ВМФ, в январе 1943 — июле 1944 — командир звена, заместитель командира и командир авиаэскадрильи 3-го гвардейского истребительного авиационного полка ВВС ВМФ. Воевал в составе ВВС Балтийского флота. Участвовал в обороне Прибалтики и Ленинграда, прорыве блокады Ленинграда и Выборгской операции. В 1942 году в воздушном бою был легко ранен в левую руку. Всего за время войны совершил 543 боевых вылета на истребителях И-15бис, И-153, ЛаГГ-3 и Ла-5, в воздушных боях сбил лично 11 и в составе группы 12[1] (по другим данным — лично 13 и в составе группы 11[2]) самолётов противника. За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года гвардии капитану Цапову Ивану Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда». В январе 1945 года окончил Высшие офицерские курсы ВВС ВМФ (город Моздок). С мая 1945 года — помощник командира истребительного авиаполка (ВВС Тихоокеанского флота). Участник советско-японской войны 1945 года в должности помощника командира 38-го истребительного авиационного полка ВВС ВМФ по лётной подготовке и воздушному бою (ВВС Тихоокеанского флота). Участвовал в Сейсинской операции. Совершил 3 боевых вылета на истребителе Ла-7. До 1950 года продолжал служить в ВВС Тихоокеанского флота помощником и заместителем командиров истребительных авиаполков. В 1950—1951 — заместитель командира и командир истребительного авиаполка (ВВС Черноморского флота). В 1955 году окончил Военно-воздушную академию (Монино). В 1955—1956 — командир истребительной авиадивизии, в 1956—1957 — начальник штаба истребительной авиадивизии (ВВС Балтийского флота). В 1957—1958 — заместитель командующего и начальник штаба истребительной авиации Прибалтийского корпуса ПВО. В 1960 году окончил Военную академию Генштаба. В 1960—1962 — заместитель командира Закавказского корпуса ПВО, в 1962—1967 — командир 11-й дивизии ПВО (город Днепропетровск), в 1967—1970 — 1-й заместитель командующего 4-й отдельной Армии ПВО (город Свердловск). В мае-декабре 1970 — заместитель командующего по боевой подготовке, а в 1970—1975 — 1-й заместитель командующего Бакинским округом ПВО. В августе 1975 — сентябре 1978 — помощник по ПВО и ВВС представителя Главного командования Объединёнными вооружёнными силами государств — участников Варшавского договора в Венгерской Народной Армии. В 1979—1985 — генерал-инспектор Инспекции Войск ПВО страны по вопросам ПВО дружественных стран, одновременно в 1980—1985 — заместитель начальника Главного штаба Войск ПВО по вопросам ПВО дружественных стран. С октября 1985 года генерал-лейтенант авиации И. И. Цапов — в запасе. Депутат Верховного Совета Азербайджанской ССР 8-го созыва (в 1971—1975 годах). Жил в Москве. Умер 24 апреля 2011 года. Похоронен на Николо-Архангельском кладбище в Москве.