Алексей родился в январе 1925 года в деревне Овинцы Гусь-Хрустального района Владимирской области (ранее Курловского р-на Ивановской обл.). Дед и отец его были учителями. Когда ему стало 18 лет, он в 1943г. ушел на фронт добровольцем, говоря маме "Я не хочу, чтобы на моей Родине были фашиты и мы стали рабами". Пошел на призывной пункт в Шатуре - там он проходил практику в техникуме. Несмотря на молодой возраст, он с 25 февраля 1944 года  стал заместителем командира отделения 1 стрелковой роты, младшим сержантом.

Он воевал в 270 стрелковой дивизии 975 стрелкового полка 6-й армии. С момента службы Алексея в 1943 г. 6-я армия в составе 1-го Прибалтийского фронта участвовала в Белорусской стратегической операции (23 июня— 29 августа). 4 июля она во взаимодействии с соединениями 5-й ударной армии освободила г. Полоцк.В 1944 г. в ходе освобождения При­балтики принимала участие в Шяуляй­ской (5-31 июля)  наступательной операции. 

Алексей геройски погиб 25 июля 1944 года: " В боях за высоту 171,3 тов. Быковский первым ворвался в траншеи противника, где огнем из ручного пулемета уничтожил до 6 гитлеровцев.В ходе дальшейшего боя в рукопашной схватке, тов. Быковский, проявив мужество и храбрость, погиб"

Его посметно наградили Орденом Отечественной войны II степени.

Похоронку, а затем орден своего сына Алексея, получила его мама Ефросинья Андреевна Быковская (Русакова). Много лет она переживала смерть сына и плакала, когда слышала песню "Стоит над горою Алеша..."