Л. А. Бусыгин родился в 1891 году в селе Константиновка Пензенской области в семье крестьянина-середняка. Военную службу начал он ещё в 1912 году, участвовал в первой мировой войне в звании унтер-офицера. В 1920 году стал бойцом Красной Армии и в течение 20 лет служил в кавалерийских частях, занимая должности от командира взвода до помощника командира дивизии.
В 1921 году Л. А. Бусыгин принимает участие в боях против банд Унгерна в Монголии. В 1922 году он назначается помощником командира полка, прославленного военачальника К. К. Рокоссовского. Под его началом и прошел Л. А. Бусыгин хорошую школу организации боевой и политической подготовки. 
Буркавдивизионом Леонид Андреевич командовал с 1927 по 1930 год. За отличное выполнение боевого задания, за героизм бойцов и командиров дивизион был награжден Президиумом ЦИК СССР Почетным революционным Красным знаменем  высшей наградой для воинских частей, а 14 бойцов и командиров  орденом Боевого Красного Знамени. Среди кавалеров этого ордена был и командир Буркавдивизиона Леонид Андреевич Бусыгин.
В августе 1941 года Бусыгин стал начальником снабжения вновь сформированной кавалерийской дивизии и выехал на фронт в Крым.
В боях за Крым Леонид Андреевич был тяжело ранен и при эвакуации морем погиб 20 ноября 1941 года. Об участии в боях за Крым и гибели Бусыгина рассказал генерал-лейтенант авиации в отставке П. П. Кобелев.
Выписка из газеты «Правда Бурятии» 21 ноября 1971 года

Со слов жены, Бусыгиной Веры Ермиловны: погиб при эвакуации раненых на теплоходе "Армения"