Окончил 1-ю Чкаловскую военную авиационную школу пилотов им.Ворошилова. С февраля 1942г. школа обучала курсантов на самолет Ил-2.

На фронте с января 1944г.

На 2 Украинском фронте с августа по октябрь 1944г. летчик 3 авиаэскадрильи 131 гвардейского штурмового авиаполка гвардии младший лейтенант Бубнов совершил 10 боевых вылетов на самолете Ил-2.

Был представлен к ордену Красного Знамени, приказом от 29 октября 1944г. был награжден орденом Красной Звезды.

Воевал на Ясском, Дебреценском, Клужском и Будапештстком направлениях. Назначен старшим летчиком.

К средине января 1945г. совершил еще 20 боевых вылетов.

Был представлен к ордену Красного Знамени, приказом от 27 января 1945г. был награжден орденом Отечественной войны II степени.

В боях за Будапешт совершил еще 26 боевых вылетов.

16 февраля 1945г. был представлен к ордену Красного Знамени. Приказ о награждении от 12 апреля 1945г.

К 23 марта 1945г. совершил 76 успешных боевых вылетов. Был представлен к ордену Красного Знамени. Приказ о награждении от 25 апреля 1945г.

02 апреля 1945г. в группе из 9 самолетов Ил-2 (ведущий- штурман эскадрильи гвардии старший лейтенант Ситнов Иван Иванович), получив от ведущего команду на атаку, прицельным бомбометанием поджег на р.Дунай грузовой пароход с войсками. На пароходе прогремел сильный взрыв. Повторным заходом Анатолий Иванович подавил огонь батареи малокалиберной зенитной артиллерии. Группа без потерь вернулась на свой аэродром.

Приказом от 20 апреля 1945г. гвардии младший лейтенант Бубнов был награжден орденом Славы III степени.

09 мая полк совершил 14 боевых вылетов, 6 из которых- на разведку.

За совершенные 140 боевых вылетов Анатолий Иванович 19 мая 1945г. был представлен к ордену Красного Знамени, приказом от 01 июня 1945г. награжден орденом Славы II степени.

14 мая с разрешения комдива, командир полка гвардии майор Герб Владимир Фридрихович с летчиками полка выехал на экскурсию в Вену. Посмотрели здание Парламента, посетили этнографический музей.

15 мая гвардии старший лейтенант Ситнов и гвардии младший лейтенант Бубнов на самолете УИЛ-2 (учебный) вылетели на аэродром Штрассхоф за новым самолетом. Облетали его , после чего, Анатолий Иванович пригнал его на аэродром Рингельсдорф.

23 мая 1945г. для участия в Параде Победы от полка были командированы гвардии лейтенант Зенин Александр Иванович и гвардии младший лейтенант Бубнов.

Всего за время участия в Отечественной войне Анатолий Иванович совершил 171 боевой вылет. 11 сентября 1945г. был представлен к ордену Славы I степени. Приказом от 17 сентября 1945г. награжден вторым орденом Отечественной войны II степени.

Награжден медалями «За взятие Будапешта», «За взятие Вены», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

За долголетнюю и безупречную службу в 1951г. награжден медалью «За боевые заслуги», в 1956г.- орденом Красной Звезды.

Гвардии подполковник Бубнов был уволен в запас 30 декабря 1958г.

В честь 40-летия Победы награжден орденом Отечественной войны II степени.