Родился в крестьянской семье, в Шебекинском районе. В отрочестве работал пастухом. В 16 летнем возрасте отправился в Ленинград в гости к своей тёте, которая порекомендовала ему идти поступать в авиационную техническую школу Ленинграда. После авиационной школы Григорий был отправлен на финскую войну, где с ним произошла история с подбитым бомбардировщиком. Как вспоминал Григорий, его спасло крыло самолета и невероятное чудо. По окончании финской войны Божков был направлен на Великую Отечественную войну, в которой он прошёл большой боевой путь.

Сам Григорий никогда не любил рассказывать о войне и посему, несмотря на длинный боевой путь, о его военной службе почти ничего неизвестно, хотя родственники Григория говорят, что его служба была красочной и насыщенной разными историями. Получил награды: орден «Боевого Красного Знамени», «За оборону Кавказа», два ордена «Красной Звезды», орден «Отечественная война второй степени». Участвовал в параде 1945 года в Москве и даже был запечатлен на видеоплёнку.