Константин Иванович родился в с. Болшеокинск (ныне с. Болшеокинкое) в Иркутской области. В сентябре 1939 г. был мобилизован в ряды РККА, где проходил службу красноармейцем. Участник Советско-Финской войны 1939-1940 гг. В 1941-1942 г. Прошел специальную военную подготовку на базе 1901-го Самоходно-артиллерийского Белостокского Краснознаменного ордена Суворова и Кутузова полка, который базировался в п. Пушкино Московской области. В составе этого полка с 1943 года воевал на 1, 2 и 3-м Белорусских фронтах. Участвовал в освобождении Белоруссии, Восточной Пруссии, Австрии, Германии: городов Брянск, Гомель, Речица, Бобруйск, Минск, Белосток, Вена, Берлин. Награжден медалями: «За отвагу», «За Победу над Германией в ВОВ 1941-1945 гг.» и др.)

После войны работал председателем в родном колхозе. Награжден Орденом Трудового Красного знамени СССР. Именем Константина Большешапова названа улица в с. Большеокинское Братского р-на Иркутской области.