Михаил Барков родился 21 ноября 1916 года в деревне Репьево (ныне — Тогучинский район Новосибирской области) в крестьянской семье. После окончания семилетней школы в родном селе с 1932 года работал в колхозе. В 1934—1936 годах работал в сельхозартели «Краснофлотец», с 1936 года работал вздымщиком в Зиминском химлесхозе Иркутской области. После окончания курсов мастеров лесного хозяйства в городе Щёлково Московской области работал мастером подсочки. В апреле 1943 года был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С сентября 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Воронежском, Калининском, 1-м и 2-м Прибалтийском фронтах. Был наводчиком орудия 73-го гвардейского истребительно-противотанкового дивизиона 67-й гвардейской стрелковой дивизии 6-й гвардейской армии 1-го Прибалтийского фронта. Во время боёв трижды был ранен. Отличился во время боёв в Белоруссии и форсировании Западной Двины.

Барков вернулся в строй незадолго до начала Белорусской наступательной операции. В ходе наступления в июне 1944 года части 67-й гвардейской стрелковой дивизии вышли к Западной Двине в районе деревни Узречье Бешенковичского района Витебской области. 25 июня 1944 года расчёт орудия, в состав которого входил Барков, переправился через реку на плоту, несмотря на массированный огонь противника. Переправившись, расчёт сразу же вступил в бой. В ходе первых двух контратак немецкой пехоты расчёту удалось отбиться. В третью атаку противник бросил танки. В результате обстрела погиб заряжающий, ранен командир расчёта, а сам Барков был контужен, но поля боя не покинул. Оставшись за старшего, Барков вывел из строя один из атакующих танков «Тигр». Плацдарм был удержан, что позволило не пропустить немецкие войска к Витебску.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за «мужество и героизм, проявленные на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками» гвардии красноармеец Михаил Барков был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 4162.

Окончил войну в Прибалтике. В 1945 году в звании гвардии младшего сержанта был демобилизован. Работал в Улан-Удэ, Иркутске. Был директором химлезхоза. В 1956 году Барков приехал на строительство Братской ГЭС. Окончив Высшую торговую школу в Ленинграде, работал директором Братского пивзавода. Умер 2 августа 1973 года.

Был также награждён орденом Отечественной войны 2-й степени, а также рядом медалей.

В честь Баркова названы улица и средняя школа в Братске. У здания школы установлен памятник ему, а на здании дома, в котором он проживал — мемориальная доска