Родился в поселке Верх – Нейвинском Невьянского района, Свердловской области, в семье рабочего. Член ВКП(б) с 1930. Образование неоконченное среднее. Работал токарем, резчиком камней на фабрике «Русские самоцветы» в Свердловске, а затем в Донбассе машинистом врубовой машины.

В Красной Армии с  17 ноября 1928 года. После призыва службу проходил в 13-м корпусном сапёрном батальоне в г. Казань. В ноябре 1929 года поступил в Орджоникидзевскую военную пехотную школу, которую окончил в 1931 году. Во время учёбы, в  1930 году участвовал в ликвидации бандформирований на Кавказе. Во время учёбы в школе Назаров стал членом ВКП(б).

В 1931 – 1932 годах проходил службу в должности командира пулемётного взвода 25-го стрелкового полка 9-й Донской стрелковой дивизии, которая дислоцировалась в г. Новочеркасске Ростовской области. Именно в это время Алексей Назарович  по всей видимости побывал в наших краях. Почему я делаю такой вывод? Согласно автобиографии в 1932 году он женится на жительнице г. Буй Ярославской (ныне Костромской) области Надежде Игнатьевне Леуковой. Возможно Арапов был в наших краях в командировке ибо в документах о прохождении его службы город Буй не упоминается.

В 1932 году молодая семья покидает Новочеркасск и убывает к новому месту службы Алексея Назаровича на Дальний Восток. Он назначен помощником командира пулемётной роты 99-го отдельного пулемётного батальона Благовещенского укреплённого района (УР) Отдельной Краснознамённой Дальневосточной армии (ОКДВА).

В 1934 году новое назначение помощником начальника штаба 77-го отдельного пулемётного батальона Гродековского Ура ОКДВА. На этой должности он  обеспечивал функционирование «окна» на границе для работы разведки. В январе 1936 года Арапову присвоено очередное воинское звание старший лейтенант. Служба на Дальнем Востоке продолжалась до 1938 года при этом Арапов сначала исполнял обязанности начальника штаба 77-го отдельного пулемётного батальона, а потом командовал учебной ротой того же батальона.

По воспоминаниям жены Арапова в это время Алексей Назарович в совершенстве знал немецкий язык. Где он его выучил установить, пока не удалось. Вполне возможно он где-то тесно общался с немцами и во время этого общения выучил немецкий язык.

В октябре 1938 года служба Арапова на Дальнем Востоке подошла к концу и он был переведён для дальнейшего прохождения службы в Орловский военный округ. Здесь службу он проходил в должностях командира роты в Белгороде и в пос. Алексеевка Воронежской области.

В 1938 году с Алексеем Назаровичем случилась неприятность. Как он пишет в своей автобиографии, во время сборов по истории ВКП(б) он в разговоре с тремя товарищами сказал: «я слышал, что Троцкий был мировой оратор…». За это он был исключён из членов ВКП(б). В той же автобиографии он пишет, что он подал апелляцию в Партийную комиссию при Политическом управлении РККА. Последствия этой апелляции неизвестны, но тот факт, что в июне 1940 года он поступил в Военную академию им. М.В. Фрунзе, что, на мой взгляд, было невозможно для исключённого из партии. Кроме того во всех документах  после 1940 года Арапов уже член ВКП(б).Как уже было сказано выше в июне 1940 года капитан Арапов (это воинское звание он получил 30 декабря 1939 года)  был зачислен слушателем спецотделения Академии им. Фрунзе. В Академии он изучал основы организации немецкой армии, структуру, тактику, армейские уставы и другие материалы по специальной военной тематике, усовершенствовал знания немецкого языка и в частности разговорные диалекты: берлинский и баварский.

После окончания Академии в октябре 1941 года  капитан Арапов  был направлен на Западный фронт в штаб 50-ой Армии генерала И.В. Болдина и назначен на должность помощника начальника 1-го отделения оперативного отдела штаба армии. Он провёл десятки вылетов на У-2 в части 4-го воздушно-десантного корпуса, десантированного под Вязьму в тыл группы немецких армий «Центр», для координации боевых действий с 50-й армией.

Кроме того Арапов принимал непосредственное участие в боях под городами Плавск и Тула. Как говорится в представлении к награждению его орденом Красного Знамени, в этих боях он умело координировал боевые действия частей. В боях за город Тула будучи представителем штаба армии умело сочетал свою личную храбрость с умением управлять войсками, чем обеспечивал выполнение приказов.

Приказом войскам Западного фронта №0109 от 31 января 1942 года капитан (так в приказе) Арапов награждён орденом Красного Знамени, а чуть раньше 22 января ему было присвоено очередное воинское звание майор.

После поступления в Академию семья Алексея Назаровича оставалась на месте его последней службы в пос. Алексеевка Воронежской области. Когда летом 1942 года сюда подошли немецко-фашистские войска, Надежда Игнатьевна с двумя детьми вынуждена была бежать вместе с отступающими войсками Красной Армии. Во время переправы через Дон, во время бомбёжки были уничтожены все вещи и часть документов. А через некоторое время сами Надежда Игнатьевна была ранена. Но ей удалось с большими трудностями добраться до города Буй, где она до конца войны жила у своих родителей. Дом в котором жила семья Арапова в г. Буй сохранился до настоящего времени и находится по адресу ул. Октябрьской революции №231 (старый адрес пос. Рабочее начало дом 2).

Осенью 1942 г. в Московской области начато формирование воздушно-десантных корпусов. Начальником штаба одного из них (8-го) был назначен подполковник Арапов А.Н. Началась боевая подготовка и слаживание подразделений. Но 8 декабря 1942 г. были подписаны два документа: Постановление Государственного Комитета Обороны №ГОКО/2597 и Приказ Народного комиссара обороны №00258. Ими предписывалось расформировать 8-й воздушно-десантный корпус и на базе его частей сформировать 3 гвардейскую воздушно-десантную стрелковую дивизию с тремя стрелковыми полками, продолжавшими носить название воздушно-десантных.

25 декабря 1942 года Арапову было присвоено очередное воинское звание подполковник. Таким образом всего за год он получил два повышения в звании.

После завершения переформирования частей и подразделений еще почти полтора месяца продолжалась усиленная боевая подготовка, тактическая и огневая. Занятия велись в полевых условиях, в окружающих лесах. В дневных и ночных условиях свершались длительные марши-броски, в т.ч. на лыжах. И, конечно, немало времени отводилось на обучение прыжкам с парашютом. Хотя впоследствии это умение не пригодились большинству десантников, закалка прыжками с самолета несомненно вырабатывала стойкий характер у гвардейцев.В феврале 1943 г. дивизия была переброшена на Северо-Западный фронт для участия в операции по уничтожению Демьянской группировки противника. С 25 февраля по 12 марта дивизия участвовала в безуспешных атаках на хорошо укреплённые позиции противника, но выполнить поставленной задачи, в виду слабой поддержки артиллерии, не смогла.

Потеряв 2/3 личного состава дивизия была выведена на доукомплектование, но сложная обстановка в районе Курской дуги потребовала скорейшей отправки десантников в этот район. В режиме доформирования и обучения новобранцев дивизия находилась в апреле-мае в составе 53 армии Степного фронта.

По прибытии в район сосредоточения дивизия была передана в состав 13-й армии Центрального фронта. Армия была расположена на направлении главного удара немецко-фашистских войск по северному флангу Курской дуги. Дивизия сначала участвовала в строительстве третьей полосы обороны, а затем участвовала в отражении июльского наступления гитлеровцев, прорыве обороны противника и его преследовании. С боями она прошла от города Малоархангельск (Орловской обл.) до реки Десна, уничтожив несколько тысяч солдат и офицеров, много военной техники и взяв большие трофеи.

В представлении Арапова к награждению орденом Александра Невского командир 3-й воздушно-десантной дивизии полковник Конев указал, что во время боёв на Курской дуге с 5 по 25 июля подполковник Арапов обеспечил чёткую работу штаба дивизии и штабов частей, умело организовал взаимодействие родов войск и беспрерывное управление частями.

Приказом войскам 60-й Армии от 17 августа 1943 года подполковник Арапов был награждён орденом Отечественной войны 2-й степени, а уже 24 августа награда была вручена.В августе 1943 года дивизия была передана в состав 60-й Армии, которой предстояло освобождать северные районы Украины. 26 августа после мощной артподготовки войска перешли в наступление. При этом на вспомогательном, конотопском, направлении, где сражались воины-десантники наметился большой успех. 30 августа был освобожден город Глухов, 31 августа гвардейские воздушно-десантные дивизии 18-го стрелкового корпуса продвинулись еще на 60 км и вступили на землю Украины. Этот прорыв становился наиболее успешным, и был оперативно поддержан Рокоссовским своими 13-й и 3-й танковыми армиями, 4 артиллерийским  корпусом прорыва и 16 воздушной армией.

Навстречу быстро наступавшим войскам были тоже довольно быстро брошены дополнительно 2 танковые и 3 пехотные немецкие дивизии и крупные силы авиации. Завязались тяжелые бои. Десантники вышли к Десне и начали бои вдоль левого берега. 6 сентября был освобожден Конотоп, а 9 сентября – Бахмач, возле которого участвовали в окружении и разгроме 4-х немецких дивизий.

Здесь в этих тяжелых боях 14 сентября в результате прямого попадания авиабомбы в командный пункт полка погибли командир 8 гвардейского воздушно-десантного полка подполковник Кокушкин Олег Иовлевич и находившийся здесь же  начальник штаба дивизии подполковник Арапов Алексей Назарович.

За отличие в боях на Курской дуге и при прорыве обороны в этой операции обоим 17 октября 1943 года  посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Похоронены они в селе Гайворон Бахмачского района Черниговской области вместе с еще одним Героем – офицером связи штаба 18-го гвардейского стрелкового корпуса капитаном Хитеевым Борисом Никитовичем. В память погибших перед памятником-воином – плита с надписью на украинском языке.

Интересный факт, что Наркомата Обороны от 17 ноября 1943 года Арапову А.Н. присвоено очередное воинское звание полковник. По всей видимости представление было подписано ещё до гибели Арапова, а потом его фамилия автоматически попала в списки на присвоение звания.

Именем Арапова названы восьмилетняя школа и улица в поселке Верх – Нейвинском. На доме, где он жил и школе, где учился установлены мемориальные доски.