Родился 3 сентября 1911 года в селе Рогозино Верховского района Орловской области в семье инженера и учительницы.

До войны работал вольнонаёмным сотрудником в танковой дивизии, базировавшейся в городе Наро-Фоминске (впоследствии гвардейская Кантемировская танковая дивизия). В связи с местом работы имел бронь от призыва, от которой добровольно отказался после уничтожения складов осенью 1941 года в результате бомбёжек фашистской авиацией. 15 ноября 1941 года был призван в ряды РККА.  Начинал воинский путь телефонистом, но уже через год стал командиром отделения связи 292 гвардейского минометного дивизиона 61 гвардейского минометного полка гвардейских минометных частей («Катюша»).
 С 1 июля 1942 года по 14 февраля 1943 года воюет в составе Калининского фронта, в августе 1943 года награжден медалью «За боевые заслуги». После ранения, в июле 1943 года возвращается в часть на Юго-Западный фронт, где принимает участие в Курской битве, где в  ходе сражения под Прохоровкой получает ранение.  Позже, в составе 3-го Украинского фронта принимает участие в форсировании Днепра и освобождении Украины и Южной Европы (Болгария, Венгрия, Австрия). В сентябре 1943 года в ходе освобождения Донбасса, будучи тяжело ранен в голову и руку, под jчередным обстрелом врага восстанавливает телефонную связь, чем обеспечивает занятие войсками 3-го Украинского фронта стратегически важной высоты. За этот подвиг в декабре 1943 года награжден орденом Красной Звезды. 

Также Евгений Дмитриевич Алексеев был награжден орденом Отечественной войны, медалями «За взятие Вены», «За взятие Будапешта» и «За победу над Германией».

Был женат на Евгении Андреевне Алдошиной, имел семерых детей. Скончался 17 ноября 1991 года.