Родился в 1919 году в с. Укыр Боханского ай- мака Иркутской области (12). Отец – Даниил Алтаевич Абашеев в 30-е годы работал в Высшей коммунистической сельскохозяйственной школе (ВКСХШ) в г. Верхнеудинске – Улан-Удэ.

В Улан-Удэ Б.Д. Абашеев окончил среднюю школу в июне 1938 года. В августе 1938 года подает документы для поступления на зоотехнический факультет. В то время вступительными экзаменами были следующие: русский язык (устно и письменно), политграмота, математика, химия, иностранный язык, физика. Из семи экзаменов Б.Д. Абашеев получил отлично по математике, химии, физике, политграмоте, русскому языку (письменно) – «хорошо», русскому языку (устно) и иностранному – «посредственно». Был зачислен в число студентов зоофака. Проучился три курса, когда началась война. В характеристике, выданной в военкомат, говорилось: «.... комсомолец. Дисциплинирован. Успеваемость удовлетворительная».

В эти годы в институте была хорошо организована оборонно- спортивная работа. Б.Д. Абашеев увлекался шахматами, неоднократно выходил победителем в этом виде спортивных состязаний. В отчетах института указывалось, что «...студент Абашеев по шахматам имеет I категорию».

В июле 1941 года в числе добровольцев Б.Д. Абашеев ушел служить в Красную Армию. До декабря 1941 года служил в Читинской области, где прошел первичную подготовку бойца. В конце 1941 года был отправлен на фронт. Участвовал в боях Юго-Западного фронта, будучи солдатом 2-го батальона 584 стрелкового полка 199 стрелковой дивизии 38 армии. В начале 1942 года Юго-Западный фронт под командованием маршала С.К. Тимошенко вел тяжелые бои под г. Харьковым. В этих боях смертью храбрых погиб Б.Д. Абашеев.