Родился 5 мая 1916 года в деревне Крюково ныне Стародубского района Брянской области в крестьянской семье. Русский. Член ВКП с 1942 года. Окончил Стародубское педагогическое училище. Работал учителем в Борзинском районе Читинской области.

В Красной Армии с октября 1939 года. На фронтах Великой Отечественной войны с июля 1941 года.

Офицер разведки 616-го стрелкового полка капитан Николай Нешков во главе группы 8 июня 1944 года в районе населённого пункта Лиза Стара, ворвавшись в траншею противника, взял в плен 6 гитлеровцев, в том числе офицера. Но сам отважный офицер-разведчик погиб в этом бою.

Похоронен в населённом пункте Топчево, в 36-и километрах юго-западнее польского города Белосток.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года капитану Нешкову Николаю Захаровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён орденом Ленина, орденами Красного Знамени, Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалью.

Навечно зачислен в списки воинской части. Имя Героя носит школа № 43 в городе Борзя Читинской области. Его имя выбито золотыми буквами на стене Зала памяти в Музее Великой Отечественной войны на Поклонной горе в городе-герое Москве