Родился в Батуми (ныне — Грузия) в семье железнодорожника. В 1928 году окончил девять классов школы. В 1928 году переехал в деревню Фёдоровка Северного района Новосибирской области. Работал в совхозе счетоводом, затем лаборантом на маслозаводе. С 1930 года работал в Фёдоровской и Биазинской школах, был учителем, завучем. В 1937 году окончил педагогическое училище.

В 1939 году Бугаев был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Участвовал в боях на Халхин-Голе. В том же году был уволен в запас и вновь вернулся на педагогическую работу.

 В июле 1941 года Северным районным военкоматом Новосибирской области был повторно призван в армию. В 1942 году вступил в ВКП(б). В декабре 1943 года окончил Ленинградское военно-инженерное командное училище, эвакуированное в Кострому. С января 1944 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Белорусском и 1-м Белорусском фронтах.

Первая награда не заставила себя ждать. В ночь с 29 на 30 марта 1944 взвод 345-го отдельного сапёрного батальона 399-й стрелковой дивизии 42-го стрелкового корпуса 48-й армии, которым командовал младший лейтенант Бугаев, под сильнейшим ружейно-пулемётным и артиллерийско-миномётным огнём противника был построен мост через реку в Могилёвской области Белоруссии. За этот подвиг Бугаев приказом по 399-й дивизии был награждён орденом Красной Звезды.

В следующий раз теперь уже лейтенант Бугаев отличился 26 июня 1944 года при прорыве сильно укреплённой позиции противника на реке Друть в Гомельской области. Взвод получил задачу проделать проходы в проволочных заграждениях. Но противник обнаружил сапёров и открыл ураганный ружейно-миномётный огонь. Оценив обстановку, Бугаев понял, что выполнение боевой задачи может быть сорвано. Тогда он отполз на 50 метров в сторону и двигаясь короткими перебежками, вызвал огонь противника на себя, чем дал возможность своим сапёрам закончить работу по проделыванию проходов. За этот подвиг самопожертвования Бугаев приказом войскам 48-й армии был награждён орденом Красного Знамени.

В сентябре 1944 года старший лейтенант Александр Бугаев отличился во время освобождения Польши. 4 сентября 1944 года передовой танковый отряд дивизии, в составе которого находился и взвод Бугаева, вышел к реке Нарев. Бугаев произвёл предварительную разведку реки и наметил наиболее безопасные места для посадки и высадки на другом берегу, организовал сбор лодок и постройку плотов. Днём того же дня группа начала переправу. Несмотря на непрерывный массированный огонь противника, Бугаев вместе со своими бойцами совершил семь рейсов за первые два часа боя, что позволило высадить на западном берегу Нарева усиленного стрелкового батальона, захватившего плацдарм. Лодка Бугаева получила 8 пробоин, в результате чего последние рейсы выполнялись по колено в воде. Пока велась переправа, к месту боя подошла колонна сапёрного батальона с пятитонным разборным паромом. Оперативно собрав паром и спустив его на воду, подчинённые Бугаева переправили артиллерию двух стрелковых полков, 10 автомашин, 40 повозок с боеприпасами и матчастью.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за «мужество и героизм, проявленные на фронте борьбы с немецкими захватчиками» старший лейтенант Александр Бугаев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

В январе 1945 года старший лейтенант Бугаев, к этому времени командир роты  в своём батальоне, участвовал в Восточно-Прусской операции. 27 января противник большими силами перешёл в контратаку. Бугаев, перестроив боевые порядки роты, не только отразил атаку противника, но и освободил те несколько домов, которые противник сумел захватить до этого. После этого Бугаев укрепил занятую позицию инженерными заграждениями, обеспечив безопасность штаба дивизии. За этот подвиг он был награждён орденом Отечественной войны 2-й степени.

В декабре 1945 года Бугаев в звании капитана был уволен в запас, после чего вернулся в Новосибирскую область, был директором средней школы в Биазе.

Умер 23 февраля 1950 года, похоронен в Северном районе Новосибирской области.

В честь Бугаева названа улица в селе Северное Новосибирской области. В краеведческом музее оформлен стенд, посвященный судьбе А.Л. Бугаева. Его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы в Новосибирске.